Calcule o volume do conjunto dado:
(x, y, z) in R^3 ; 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1, x^2+y^2 <= z <= 2.

Passo 1

O enunciado quer o volume do sólido
l(x,y,z)inR^3 mid 0<= x<=1,;0<= y<=1,;x^2+y^2<= z<=2r
O conteúdo é cálculo de volume por integração iterada, integrando primeiro em z e depois sobre o retângulo [0,1]times[0,1].

Passo 2

Para cada ponto (x,y) em [0,1]times[0,1], z varia de z=x^2+y^2 até z=2. Assim o volume é
V=integralx=0^1integraly=0^1l[,2-(x^2+y^2)r];dy;dx

Passo 3

Escrevemos a integral como soma de três:
V =integral0^1!integral0^12,dy,dx -integral0^1!integral0^1x^2,dy,dx -integral0^1!integral0^1y^2,dy,dx
Calculando cada termo:
integral0^1!integral0^12,dy,dx =2cdot1cdot1=2,
integral0^1!integral0^1x^2,dy,dx =integral0^1x^2l(integral0^1dyr)dx =integral0^1x^2,dx =tfrac13,
integral0^1!integral0^1y^2,dy,dx =integral0^1y^2,dy;l(integral0^1dxr) =integral0^1y^2,dy =tfrac13
Logo
V=2-tfrac13-tfrac13 =2-tfrac23 =tfrac43

Resposta

O volume do conjunto é tfrac43.

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