Calcule o volume do conjunto dado:
(x, y, z) in R^3 ; 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1,1 <= z <= e^x+y.

Passo 1

O enunciado quer o volume do sólido
D = (x,y,z)inR^3 mid 0<= x<=1,;0<= y<=1,;1<= z<= e^x+y
O conteúdo aqui é cálculo de volume por integral tripla e uso do Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração.

Passo 2

Escrevemos o volume V como
V = integral triplaD dV
Pelo Teorema de Fubini, podemos integrar em z primeiro, depois em y e x.

Passo 3

Integrando em z de 1 até e^x+y obtemos
V = integralx=0^1integraly=0^1l[integralz=1^e^x+ydzr]dy,dx = integral0^1integral0^1l(e^x+y-1r),dy,dx

Passo 4

Agora integramos em y:
integral0^1l(e^x+y-1r),dy = integral0^1e^xe^y,dy ;-;integral0^11,dy = e^xl[e^yr]0^1 - 1 = e^x(e-1) - 1
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V = integral0^1l(e^x(e-1) - 1r),dx

Passo 5

Por fim, integramos em x:
integral0^1l(e^x(e-1) - 1r),dx = (e-1)integral0^1e^x,dx ;-;integral0^11,dx = (e-1)l[e^xr]0^1 - 1 = (e-1)(e-1) - 1 = (e-1)^2 - 1

Resposta

V = (e-1)^2 - 1

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