Calcule as integrais duplas:
, onde
é a região do pprimeiro quadrante delimitado por
,
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a parte do primeiro quadrante limitada pelas retas
O conteúdo envolvido é integração dupla em coordenadas cartesianas. Vamos descrever por desigualdades em
e
e depois integrar em
para cada
.
O conteúdo envolvido é integração dupla em coordenadas cartesianas. Vamos descrever
Passo 2
Escrevemos as quatro condições como inequações:
além de
e
.
Dessas tiramos os limites de em função de
:
Dessas tiramos os limites de
Como
faz
e em cada faixa de
o maior entre
e
muda, dividimos o intervalo de
em três partes onde esses máximos e mínimos são constantes.
Passo 3
Determinação dos três subdomínios em
:
-
:
, .
Logo. -
:
, (pois ).
Logo. -
:
, (pois agora quando ).
Logo.
A partir de
o intervalo de
vaza, então interrompemos em
.
Passo 4
Integral no primeiro subdomínio
:
Passo 5
Integral no segundo subdomínio
:
No cálculo interno obtemos
.
Logo
Logo
Passo 6
Integral no terceiro subdomínio
:
O valor do integrando fica
Assim
Passo 7
Somando as três partes: