Calcule as integrais duplas:
integral duplaB x+y d x d y, onde B é a região do pprimeiro quadrante delimitado por x+y=4, x+y=0, y-x=0 e y-x=-1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaB (x+y),dx,dy
onde B é a parte do primeiro quadrante limitada pelas retas
;x+y=0,;x+y=4,;y-x=0,;y-x=-1
O conteúdo envolvido é integração dupla em coordenadas cartesianas. Vamos descrever B por desigualdades em x e y e depois integrar em y para cada x.

Passo 2

Escrevemos as quatro condições como inequações:
0 <= x+y <= 4, -1 <= y-x <= 0,
além de x>=0 e y>=0.
Dessas tiramos os limites de y em função de x:
y >= max0,;x-1,;-x e y <= minx,;4-x
Como x>=0 faz -x<=0 e em cada faixa de x o maior entre 0 e x-1 muda, dividimos o intervalo de x em três partes onde esses máximos e mínimos são constantes.

Passo 3

Determinação dos três subdomínios em x:
  1. 0<= x<=1:
    max0,x-1=0, minx,4-x=x.
    Logo 0<= y<= x.
  2. 1<= x<=2:
    max0,x-1=x-1, minx,4-x=x (pois 4-x>=2>= x).
    Logo x-1<= y<= x.
  3. 2<= x<= tfrac52:
    max0,x-1=x-1, minx,4-x=4-x (pois agora 4-x<= x quando x>=2).
    Logo x-1<= y<= 4-x.
A partir de x>tfrac52 o intervalo de y vaza, então interrompemos em x=tfrac52.

Passo 4

Integral no primeiro subdomínio 0<= x<=1:
I1 =integral0^1!integral0^x(x+y),dy,dx =integral0^1l[xy+tfracy^22r]y=0^y=x,dx =integral0^1l(x^2+tfracx^22r),dx =tfrac32integral0^1x^2,dx =tfrac32cdottfrac13 =tfrac12

Passo 5

Integral no segundo subdomínio 1<= x<=2:
I2 =integral1^2!integralx-1^x(x+y),dy,dx =integral1^2l[xy+tfracy^22r]y=x-1^y=xdx
No cálculo interno obtemos
,(xcdot x+tfracx^22)-l(x(x-1)+tfrac(x-1)^22r)=2x-tfrac12.
Logo
I2 =integral1^2l(2x-tfrac12r),dx =l[x^2-tfracx2r]1^2 =(4-1)-l(1-tfrac12r) =3-tfrac12 =tfrac52

Passo 6

Integral no terceiro subdomínio 2<= x<= tfrac52:
I3 =integral2^5/2!integralx-1^4-x(x+y),dy,dx =integral2^5/2l[xy+tfracy^22r]y=x-1^y=4-xdx
O valor do integrando fica
l(4x-x^2+tfrac(4-x)^22r) -l(x(x-1)+tfrac(x-1)^22r) =tfrac152+2x-2x^2
Assim
I3 =integral2^5/2l(tfrac152+2x-2x^2r),dx =l(tfrac152x+x^2-tfrac23x^3r)2^5/2 =tfrac1112

Passo 7

Somando as três partes:
integral duplaB(x+y),dx,dy =I1+I2+I3 =tfrac12+tfrac52+tfrac1112 =tfrac6+30+1112 =tfrac4712

Resposta

boxed4712

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