Determine as seguintes antiderivadas (integrais indefinidas).
integral(3 cos ^2(3 x+5)-2 sen^3(7-2 x)) d x

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada de
integrall(3cos^2(3x+5);-;2,sen^3(7-2x)r),dx
O conteúdo é integração de funções trigonométricas. Vamos usar a identidade do cosseno ao quadrado para a primeira parte e substituição para a segunda.

Passo 2

Para
integral 3cos^2(3x+5),dx, usamos
cos^2theta = 1+cos(2theta)2,
com theta=3x+5. Então
3cos^2(3x+5) = 32 + 32cos(6x+10),
e
integral 3cos^2(3x+5),dx = 32integral 1,dx ;+;32integralcos(6x+10),dx = 32x + 32cdot16sen(6x+10) = 32x + 14sen(6x+10)

Passo 3

Para
integral -2,sen^3(7-2x),dx, fazemos u=7-2x, logo du=-2,dx e dx=-tfrac12,du. Assim
integral -2,sen^3(7-2x),dx = integral sen^3(u),du
Escrevendo sen^3u=(1-cos^2u),sin u e fazendo t=cos u, dt=-sin u,du, obtemos
integral sen^3u,du = -integral(1-t^2),dt = -l(t-t^33r) = -cos u + cos^3u3
Voltando a x, isso dá
-cos(7-2x) + cos^3(7-2x)3

Passo 4

Somando as duas partes e incluindo a constante C, a antiderivada geral é
32x ;+;14sen(6x+10) ;-;cos(7-2x) ;+;13cos^3(7-2x) ;+;C

Resposta

boxed32x + 14sen(6x+10) - cos(7-2x) + 13cos^3(7-2x) + C

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