Esboce o gráfico de
e determine
integral-2^2 f(1-x) d x .
Passo 1
O enunciado define a função
f(x) por partes em três intervalos e pede (i) o esboço do gráfico de
f e (ii) o cálculo de
Vamos usar conceitos de funções definidas por partes para o esboço e depois mudança de variável para resolver a integral.
Passo 2
Esboço do gráfico de
f :
Para
-5 <= x < -1 vale
ou seja, reta horizontal em
y=-1 . Há ponto fechado em
x=-5 e círculo aberto em
x=-1 .
Para
-1 <= x <= 1 vale
que é uma parábola com vértice em
(0,1) e intercepta os eixos em
(-1,0) e
(1,0) , ambos fechados.
Para
1 < x <= 5 vale
reta de inclinação
1 , com círculo aberto em
(1,3) e ponto fechado em
(5,7) .
Passo 3
Para calcular
integral-2^2f(1-x),dx fazemos a mudança de variável
Quando
x=-2 ,
t=3 . Quando
x=2 ,
t=-1 . Portanto
Passo 4
Agora dividimos a integral segundo as definições de
f(t) :
para-1<= t<=1 ,
f(t)=1-t^2 ;
para1< t<=3 (note que o terceiro ramo vale até
t=5 ),
f(t)=2+t .
Logo
para
para
Logo
Passo 5
Cálculo das duas integrais:
Somando, obtemos