Esboce o gráfico de f(x)=ll-1 & -5 <= x<-1 1-x^2 & -1 <= x <= 1 2+x & 1<x <= 5 e determine integral-2^2 f(1-x) d x.

Passo 1

O enunciado define a função f(x) por partes em três intervalos e pede (i) o esboço do gráfico de f e (ii) o cálculo de
integral-2^2 f(1-x),dx
Vamos usar conceitos de funções definidas por partes para o esboço e depois mudança de variável para resolver a integral.

Passo 2

Esboço do gráfico de f:
Para -5 <= x < -1 vale
f(x)=-1,
ou seja, reta horizontal em y=-1. Há ponto fechado em x=-5 e círculo aberto em x=-1.
Para -1 <= x <= 1 vale
f(x)=1 - x^2,
que é uma parábola com vértice em (0,1) e intercepta os eixos em (-1,0) e (1,0), ambos fechados.
Para 1 < x <= 5 vale
f(x)=2+x,
reta de inclinação 1, com círculo aberto em (1,3) e ponto fechado em (5,7).

Passo 3

Para calcular integral-2^2f(1-x),dx fazemos a mudança de variável
t = 1 - x Longrightarrow dx = -,dt
Quando x=-2, t=3. Quando x=2, t=-1. Portanto
integral-2^2f(1-x),dx =integral3^-1f(t),(-dt) =integral-1^3f(t),dt

Passo 4

Agora dividimos a integral segundo as definições de f(t):
para -1<= t<=1, f(t)=1-t^2;
para 1< t<=3 (note que o terceiro ramo vale até t=5), f(t)=2+t.
Logo
integral-1^3f(t),dt =integral-1^1(1 - t^2),dt +integral1^3(2 + t),dt

Passo 5

Cálculo das duas integrais:
integral-1^1(1 - t^2),dt =l[t - tfract^33r]-1^1 =(1 - tfrac13)-l(-1 + tfrac13r) =tfrac23 - (-tfrac23) =tfrac43
integral1^3(2 + t),dt =l[2t + tfract^22r]1^3 =l(6 + tfrac92r)-l(2 + tfrac12r) = l(6+4,5r)-(2+0,5) =10,5 - 2,5 =8
Somando, obtemos
integral-1^3f(t),dt =tfrac43 + 8 =tfrac4 + 243 =tfrac283

Resposta

integral-2^2f(1-x),dx = 283

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