Calcule as integrais duplas.
integral duplaR(3 x-2 y) d A, onde R é a região do plano descrita por 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= raiz1-x^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaR(3x-2y),dA,
onde R é a região
(x,y)mid 0<= x<=1,;0<= y<=raiz1-x^2.
Vamos usar integração iterada (Teorema de Fubini), integrando primeiro em y e depois em x.

Passo 2

Escrevemos a integral como
integralx=0^1l(integraly=0^raiz1-x^2(3x-2y),dyr),dx

Passo 3

Calculamos a integral interna em y:
integral0^raiz1-x^2(3x-2y),dy =l[,3x,y - y^2r]0^raiz1-x^2 =3xraiz1-x^2 - (1-x^2)

Passo 4

A integral externa fica
integral0^1l(3xraiz1-x^2 - (1-x^2)r),dx =integral0^13xraiz1-x^2,dx ;-;integral0^1(1-x^2),dx

Passo 5

  1. Para integral0^13xraiz1-x^2,dx, faça u=1-x^2, du=-2x,dx. Então
integral0^13xraiz1-x^2,dx =-32integralu=1^0u^1/2,du =integral0^1u^1/2,du =1
  1. Para integral0^1(1-x^2),dx,
integral0^1(1-x^2),dx =l[x-x^33r]0^1 =1-13 =23

Passo 6

Somando os resultados:
1 - 23 = 13

Resposta

13

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