Determine se a sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
pn=raiz[n]2 n-4

Passo 1

O enunciado define a sequência
pn = raiz[n]2n - 4
e pede para investigar se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, calcular o seu limite. Este problema envolve o cálculo de limites de raízes n-ésimas, usando propriedades de logaritmo e exponencial.

Passo 2

Para manipular essa raiz n-ésima, escrevemos pn em função da exponencial e do logaritmo:
pn = expl(ln(pn)r) = exp!l(lnl((2n-4)^1/nr)r) = exp!l(1n,ln(2n-4)r)

Passo 3

Agora analisamos o expoente
1n,ln(2n-4)
Usamos a decomposição
ln(2n-4) = ln n + ln!l(2 - tfrac4nr)
Logo
1n,ln(2n-4) = ln nn + ln!l(2 - tfrac4nr)n

Passo 4

Calculamos o limite de cada termo quando n to infty:
  • limntoinftyln nn = 0, pois ln n cresce mais devagar que n.
  • limntoinftyln!l(2 - tfrac4nr) = ln(2), mas isso sobre n
    limntoinftyln(2 - 4/n)n = 0.
Portanto
limntoinfty1n,ln(2n-4) = 0 + 0 = 0

Passo 5

Como a função exp(x) é contínua, temos
limntoinftypn = limntoinftyexp!l(1nln(2n-4)r) = expl(limntoinftytfrac1nln(2n-4)r) = exp(0) = 1
Logo a sequência converge.

Resposta

A sequência pn converge e
limntoinftypn = 1

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