Determine se a sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
Passo 1
O enunciado define a sequência
e pede para investigar se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, calcular o seu limite. Este problema envolve o cálculo de limites de raízes
-ésimas, usando propriedades de logaritmo e exponencial.
Passo 2
Para manipular essa raiz
-ésima, escrevemos
em função da exponencial e do logaritmo:
Passo 3
Agora analisamos o expoente
Usamos a decomposição
Logo
Passo 4
Calculamos o limite de cada termo quando
:
-
, pois cresce mais devagar que . -
, mas isso sobre dá
.
Portanto
Passo 5
Como a função
é contínua, temos
Logo a sequência converge.
Resposta
A sequência
converge e