Calcule as integrais duplas.
integral0^1 integral0^s^2 cos (s^3) d t d s

Passo 1

A questão pede para calcular a integral dupla integral0^1integral0^s^2cos(s^3),dt,ds. O conteúdo é integral dupla em coordenadas Cartesianas e vamos precisar usar a definição de integral iterada e depois fazer uma substituição simples.

Passo 2

Como a função cos(s^3) independe de t, podemos primeiro integrar em relação a t:
integral0^s^2cos(s^3),dt = cos(s^3)integral0^s^2dt = s^2,cos(s^3)

Passo 3

Portanto a integral dupla reduz-se à integral simples
integral0^1s^2cos(s^3),ds

Passo 4

Agora fazemos a substituição u = s^3, assim du = 3s^2,ds ou s^2,ds = tfracdu3. Quando s=0, u=0 e quando s=1, u=1. Substituindo,
integral0^1s^2cos(s^3),ds = integral0^1cos(u)du3 = 13integral0^1cos(u),du

Passo 5

Por fim, integramos cos(u):
integral0^1cos(u),du = sin(u)|0^1 = sin(1) - sin(0) = sin(1)
Logo o valor da integral é tfracsin(1)3.

Resposta

tfracsin(1)3

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