Calcule as seguintes integrais, por integração por Partes:
integral e^x cos x d x ; integral0^1 arctg x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular as integrais
integral e^x cos x , dx e integral0^1 arctan x , dx
Conteúdo: integração por partes, que se baseia na fórmula
integral u,dv = u v - integral v,du
Vamos usar essa técnica duas vezes no primeiro caso e uma vez no segundo.

Passo 2

Para a integral I = integral e^x cos x ,dx, escolhemos u = e^x e dv = cos x,dx. Então
du = e^x,dx, v = integral cos x,dx = sin x
Aplicando integração por partes:
I = e^x sin x - integral e^x sin x ,dx
Chamamos J = integral e^x sin x ,dx e repetimos a técnica com u = e^x, dv = sin x,dx:
du = e^x,dx, v = -cos x
Logo
J = -e^x cos x + integral e^x cos x ,dx = -e^x cos x + I
Substituindo J em I = e^x sin x - J resulta
I = e^x sin x - (-e^x cos x + I) = e^x (sin x + cos x) - I
Isolando I:
2I = e^x(sin x + cos x) implies I = e^x(sin x + cos x)2 + C

Passo 3

Para a integral definida K = integral0^1 arctan x ,dx, escolhemos u = arctan x e dv = dx. Assim:
du = 11+x^2,dx, v = x
Pela fórmula:
K = l[xarctan xr]0^1 - integral0^1 xcdot 11+x^2 ,dx
O primeiro termo é
1cdot pi4 - 0 = pi4
Para a integral residual, note que
integral0^1 x1+x^2 ,dx = 12 integral0^1 2x1+x^2 ,dx = 12 [ln(1+x^2)]0^1 = 12 ln 2
Portanto:
K = pi4 - 12 ln 2

Resposta

integral e^xcos x,dx = tfrace^x(sin x+cos x)2+C; integral0^1arctan x,dx = tfracpi4-tfrac12ln(2).

Exercícios relacionados