Encontre o comprimento do arco da curva y=(1 / 3) x^wed>=(3 / 2) no intervalo [0,4].

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento de arco da curva y=tfrac13x^3/2 no intervalo [0,4]. Esse tipo de problema usa a fórmula de comprimento de arco de uma função y=f(x):
L=integrala^braiz1+(y')^2,dx
Então vamos precisar encontrar a derivada y'(x) e resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro calculemos a derivada de y=tfrac13x^3/2. Usando a regra de potência:
y'(x)=ddxl(tfrac13x^3/2r)=tfrac13cdottfrac32x^1/2=tfrac12x^1/2

Passo 3

Agora substituímos em 1+(y')^2 para montar o integrando:
1+(y')^2=1+l(tfrac12x^1/2r)^2=1+tfrac14x=x+44
Portanto
raiz1+(y')^2=12raizx+4
E a integral de comprimento de arco fica
L=integral0^412raizx+4,dx

Passo 4

Para calcular essa integral, note que uma primitiva de raizx+4 é:
integralraizx+4,dx=integral(x+4)^1/2,dx=23(x+4)^3/2+C
Logo
L=12cdot23(x+4)^3/2|0^4=13(x+4)^3/2|0^4

Passo 5

Agora avalie de x=0 a x=4:
L=13l((4+4)^3/2-(0+4)^3/2r)=13l(8^3/2-4^3/2r)
Sabendo que 8^3/2=16raiz2 e 4^3/2=8, temos
L=13(16raiz2-8)

Resposta

16raiz2-83

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