Calcule as integrais duplas e interprete os resultados
integralD integral 1 d A, onde D é a circunferência centrada na origem e de raio R. Interprete o resultado.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente calcular a integral dupla
integral duplaD1,dA,
onde D é o círculo de raio R centrado na origem. Isso é matéria de integrais duplas e mudança de variáveis: vamos usar coordenadas polares porque a região é redondinha.

Passo 2

Antes de tudo, lembra que
integral duplaDf(x,y),dA
é como somar infinitos quadradinhos de área dA ponderados por f(x,y). Se f(x,y)=1, cada quadradinho contribui só com sua área dA, então no final a soma dá a área total de D.

Passo 3

Como D é um disco, convém usar coordenadas polares:
x = rcostheta, y = rsintheta
Nessa troca, o diferencial de área vira
dA = r,dr,dtheta,
onde esse fator r é o jacobiano da transformação.

Passo 4

Agora escolhemos os limites:
0 <= r <= R, 0 <= theta <= 2pi
A integral fica
integral duplaD1,dA =integraltheta=0^2pi!!integralr=0^R1cdot r,dr,dtheta

Passo 5

Bora calcular passo a passo:
  1. integral0^Rr,dr = r^22|0^R = R^22
  2. integral0^2piR^22,dtheta = R^22times2pi = pi R^2

Resposta

boxedintegral duplaD1,dA = pi R^2,
que é justamente a área do círculo de raio R.

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