Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y. Em seguida, calcule a área da região.
(f) y=7-x^2 e y=x^2+4.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
y = 7 - x^2
e
y = x^2 + 4
O conteúdo é interseção de curvas e cálculo de área por integração. Como para cada x a região vai de uma função à outra de forma vertical, vamos integrar em relação a x.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção das parábolas resolvendo
7 - x^2 = x^2 + 4
Isolando,
3 = 2x^2 Longrightarrow x^2 = 32 Longrightarrow x = pm raiz32
Logo os limites de integração são x=-raiz3/2 e x=+raiz3/2.

Passo 3

Determinar qual curva está por cima no intervalo l[-raiz3/2,raiz3/2r]. Para isso consideramos
(7 - x^2) - (x^2 + 4) = 3 - 2x^2
Como ;x^2<= tfrac32implies 2x^2<=3, temos 3-2x^2>=0. Portanto
ysup(x)=7-x^2, yinf(x)=x^2+4

Passo 4

Montar a integral da diferença entre as duas curvas:
Área =integral-raiz3/2^raiz3/2l[(7-x^2)-(x^2+4)r],dx =integral-raiz3/2^raiz3/2l(3-2x^2r),dx Á

Passo 5

A integral pode ser feita diretamente ou usando simetria. Usando simetria, note que 3-2x^2 é função par, então
Área =2integral0^raiz3/2l(3-2x^2r),dx Á
Calculemos a primitiva:
integrall(3-2x^2r),dx =3x-23x^3
Logo
Área =2gl[;3x-23x^3gr]0^raiz3/2 =2l(3raiztfrac32-tfrac23l(raiztfrac32r)^3r) Á
Como l(raiztfrac32r)^3=(tfrac32)raiztfrac32, obtemos
Área =2l(3raiztfrac32-tfrac23cdottfrac32raiztfrac32r) =2l(3raiztfrac32-;1cdotraiztfrac32r) =2cdot2raiztfrac32 =4raiztfrac32 Á
Por fim, raiztfrac32=tfracraiz62, logo
4raiztfrac32 =4cdotraiz62 =2raiz6

Resposta

A área da região é 2raiz6.

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