Questão 6.

A função phi(x)=2x é solução particular da equação diferencial
d yd x=-4x^2-1x y+y^2
Encontre uma família um parâmetro de soluções da equação de Ricatti dada acima. y =2x+ [-14 x+c x^-3]^-1

Passo 1

O enunciado dá a equação de Riccati
dydx=-4x^2-1xy+y^2
e diz que phi(x)=tfrac2x é uma solução particular. O conteúdo aqui é usar a substituição típica de Riccati,
y(x)=phi(x)+1u(x),
que transforma a equação não linear em uma equação linear de primeira ordem para u(x).

Passo 2

Substituímos
y=2x+1u,
logo
dydx=-2x^2-1u^2dudx
No lado direito usamos
y^2=4x^2+4x,u+1u^2, -1xy=-2x^2-1x,u,
então
-4x^2-1xy+y^2 =-4x^2-2x^2-1x,u +4x^2+4x,u+1u^2 =-2x^2+3x,u+1u^2
Igualando tfracdydx a esse resultado e cancelando -2/x^2, achamos
-1u^2dudx =3x,u+1u^2 Longrightarrow dudx+ 3x,u=-1

Passo 3

A equação para u é linear:
dudx+3xu=-1
O fator integrante é mu(x)=e^integral3/x,dx=x^3. Multiplicando,
ddxl(x^3ur)=-x^3
Integrando em x,
x^3u=-x^44+C Longrightarrow u(x)=-x4+C,x^-3,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Voltando à substituição y=tfrac2x + 1/u, obtemos a família de soluções de um parâmetro:
y(x) =2x +1-tfracx4+C,x^-3 =2x +l[-tfracx4+C,x^-3r]^-1

Resposta

y(x)=2x+l(-tfracx4+C,x^-3r)^-1,
com C parâmetro real.

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