Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y. Em seguida, calcule a área da região.
(g) y^2-4 x=4 e 4 x-y=16.

Passo 1

O enunciado pede a área da região em que se cruzam as curvas
y^2 - 4x = 4
e
4x - y = 16
O conteúdo envolve esboçar a região, resolver o sistema para achar os limites de integração e usar uma integral de área integral dupla 1,dA. Como cada curva pode ser escrita como x em função de y, é mais conveniente integrar em relação a y.

Passo 2

Reescrevendo cada curva isolando x:
Da equação y^2 - 4x = 4 vem
4x = y^2 - 4 Longrightarrow x = y^24 - 1
Da reta 4x - y = 16 temos
4x = y + 16 Longrightarrow x = y4 + 4
Para achar onde se encontram, igualamos as duas expressões de x:
y^24 - 1 = y4 + 4 Longrightarrow y^2 - y - 20 = 0
As raízes são
y = 1 pm raiz1 + 802 = 1 pm 92,
isto é, y = 5 e y = -4. Logo o intervalo de integração é de y=-4 até y=5, e para cada y o x varia de
xesq = y^24 - 1 até xdir = y4 + 4 é

Passo 3

A área A é dada por
A = integraly=-4^5l[xdir(y) - xesq(y)r],dy = integral-4^5l(l(tfracy4+4r) - l(tfracy^24-1r)r)dy
Simplificando o integrando:
l(tfracy4+4r) - l(tfracy^24-1r) = -y^24 + y4 + 5

Passo 4

Calculamos a integral:
A = integral-4^5l(-tfracy^24 + tfracy4 + 5r)dy = l[-tfracy^312 + tfracy^28 + 5yr]-4^5
Avaliação em y=5:
-tfrac5^312 + tfrac5^28 + 5cdot5 = -tfrac12512 + tfrac258 + 25 = tfrac42524
Avaliação em y=-4:
-tfrac(-4)^312 + tfrac(-4)^28 + 5cdot(-4) = tfrac6412 + tfrac168 - 20 = tfrac163 + 2 - 20 = -tfrac383 = -tfrac30424
Subtraindo,
A = 42524 - l(-tfrac30424r) = 72924 = 2438

Resposta

2438

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