Questão 3) Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. Faça todas as passagens de sua justificativa.
lim (x, y) (1, pi) cos (2 y^2 x)3 x^3-2 y

Passo 1

Então, temos que encontrar o limite da função cos (2 y^2 x)3 x^3-2 y quando (x, y) se aproxima de (1, pi). Vamos usar conceitos de cálculo de limites de funções de várias variáveis, avaliando diretamente substituindo os valores.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir x = 1 e y = pi na função:
Numerador: cos(2 y^2 x) = cos(2 pi^2 cdot 1) = cos(2pi^2)
Denominador: 3 x^3 - 2 y = 3 cdot 1^3 - 2 pi = 3 - 2pi

Passo 3

Agora, precisamos verificar se o denominador não é zero para evitar divisão por zero. Calculando:
3 - 2pi approx 3 - 6.2832 = -3.2832 (não é zero)

Passo 4

Com o denominador diferente de zero, podemos calcular o limite substituindo diretamente:
lim (x, y) (1, pi) cos (2 y^2 x)3 x^3-2 y = cos(2pi^2)3 - 2pi

Resposta

O limite é cos(2pi^2)3 - 2pi.

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