Calcule a integral
, onde
é a região triangular com vértices
e
.
R: 5
R: 5
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
onde
é o triângulo com vértices
e
.
Informações dadas:
- Vértices:
, e . - Região
é o triângulo com esses vértices. - Função a integrar:
.
O que vamos fazer: descrever a região triangular por equações das retas que formam seus lados, escolher uma ordem de integração conveniente e calcular a integral iterada correspondente.
Passo 2
Determinar as equações das retas que limitam o triângulo.
- Reta entre
e . A inclinação é
logo a reta é
- Reta entre
e . A inclinação é
e passando por
dá
- Reta entre
e é o eixo :
Portanto o triângulo
é a região limitada por
,
e
.
Passo 3
Escolher a ordem de integração. É mais simples integrar primeiro em
(varrendo horizontalmente) para um
fixo, porque para cada
entre
e
o intervalo em
vai de uma reta à outra sem precisar dividir em subintervalos.
Para um dado
com
:
- A reta
dá (borda esquerda). - A reta
dá (borda direita).
Logo podemos escrever a integral como integral iterada
Passo 4
Calcular a integral interna em
. Como
é constante nesta integração:
Agora a primitiva de
é
, então
Passo 5
Simplificar a expressão dentro do colchete:
Substituindo,
Multiplicando o
para obter um polinômio em
:
Passo 6
Agora integrar em
de
a
:
Avaliar em
:
Calcular cada termo:
Somando:
Passo 7
Concluímos que o valor da integral dupla é
.