Calcule a integral \iint_{D} 2 x y d A, onde D é a região triangular com vértices (0,0),(1,2) e (3,0).
R: 5

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{D} 2 x y \, dA,
onde D é o triângulo com vértices (0,0),\;(1,2) e (3,0).
Informações dadas:
  • Vértices: (0,0), (1,2) e (3,0).
  • Região D é o triângulo com esses vértices.
  • Função a integrar: f(x,y)=2xy.
O que vamos fazer: descrever a região triangular por equações das retas que formam seus lados, escolher uma ordem de integração conveniente e calcular a integral iterada correspondente.

Passo 2

Determinar as equações das retas que limitam o triângulo.
  1. Reta entre (0,0) e (1,2). A inclinação é
m=\frac{2-0}{1-0}=2,
logo a reta é
y=2x.
  1. Reta entre (1,2) e (3,0). A inclinação é
m=\frac{0-2}{3-1}=\frac{-2}{2}=-1,
e passando por (1,2)
y-2=-1(x-1)\quad\Rightarrow\quad y=-x+3.
  1. Reta entre (0,0) e (3,0) é o eixo x:
y=0.
Portanto o triângulo D é a região limitada por y=0, y=2x e y=-x+3.

Passo 3

Escolher a ordem de integração. É mais simples integrar primeiro em x (varrendo horizontalmente) para um y fixo, porque para cada y entre 0 e 2 o intervalo em x vai de uma reta à outra sem precisar dividir em subintervalos.
Para um dado y com 0\le y\le 2:
  • A reta y=2x x=\dfrac{y}{2} (borda esquerda).
  • A reta y=-x+3 x=3-y (borda direita).
Logo podemos escrever a integral como integral iterada
\iint_{D} 2 x y \, dA=\int_{y=0}^{2}\left(\int_{x=\frac{y}{2}}^{\,3-y} 2 x y \, dx\right) dy.

Passo 4

Calcular a integral interna em x. Como y é constante nesta integração:
\int_{x=\frac{y}{2}}^{\,3-y} 2 x y \, dx =2y\int_{\frac{y}{2}}^{\,3-y} x \, dx.
Agora a primitiva de x é \dfrac{x^{2}}{2}, então
2y\int_{\frac{y}{2}}^{\,3-y} x \, dx =2y\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{x=\frac{y}{2}}^{x=3-y} = y\left[(3-y)^{2}-\left(\frac{y}{2}\right)^{2}\right].

Passo 5

Simplificar a expressão dentro do colchete:
(3-y)^{2}=9-6y+y^{2}, \qquad \left(\frac{y}{2}\right)^{2}=\frac{y^{2}}{4}.
Substituindo,
y\left[(3-y)^{2}-\left(\frac{y}{2}\right)^{2}\right] = y\left[9-6y+y^{2}-\frac{y^{2}}{4}\right] = y\left[9-6y+\frac{3}{4}y^{2}\right].
Multiplicando o y para obter um polinômio em y:
y\left[9-6y+\frac{3}{4}y^{2}\right]=9y-6y^{2}+\frac{3}{4}y^{3}.

Passo 6

Agora integrar em y de 0 a 2:
\int_{0}^{2}\left(9y-6y^{2}+\frac{3}{4}y^{3}\right)dy = \left[ \frac{9}{2}y^{2}-2y^{3}+\frac{3}{16}y^{4}\right]_{0}^{2}.
Avaliar em y=2:
\frac{9}{2}\cdot 2^{2}-2\cdot 2^{3}+\frac{3}{16}\cdot 2^{4} = \frac{9}{2}\cdot 4 -2\cdot 8 +\frac{3}{16}\cdot 16.
Calcular cada termo:
\frac{9}{2}\cdot 4=18,\qquad -2\cdot 8=-16,\qquad \frac{3}{16}\cdot 16=3.
Somando:
18-16+3=5.

Passo 7

Concluímos que o valor da integral dupla é \,5.

Resposta

5

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