Calcule os Jacobinos partial(x, y)partial(u, v) associados às seguinte mudança de variáveis:
lx=u^2 v y=e^u+v^2.

Passo 1

O enunciado pede o Jacobiano da transformação
x = u^2v, y = e^u + v^2,
ou seja, queremos
partial(x,y)partial(u,v) ;=; det partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v
O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais e determinante de matriz 2times2.

Passo 2

Vamos achar as derivadas parciais de cada componente:
partial xpartial u =partial (u^2v)partial u =2u,v, partial xpartial v =partial (u^2v)partial v =u^2,
partial ypartial u =partial (e^u+v^2)partial u =e^u, partial ypartial v =partial (e^u+v^2)partial v =2v
Logo a matriz jacobiana é
J(u,v) = 2u,v & u^2 e^u & 2v

Passo 3

O Jacobiano é o determinante dessa matriz:
partial(x,y)partial(u,v) =det J(u,v) =(2u,v),(2v);-;(u^2),(e^u) =4u,v^2-u^2e^u

Resposta

partial(x,y)partial(u,v) = 4u,v^2 - u^2e^u

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