Determine o volume do sólidos abaixo:
S confinado em 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1 e 1 <= z <= e^x+y.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido S definido por
0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1, 1 <= z <= e^x+y
Isso é um problema de cálculo de volume via integral tripla com integrando 1.

Passo 2

Escrevemos o volume como
Vol(S) = integralx=0^1!integraly=0^1!integralz=1^e^x+y 1 ,dz,dy,dx
Estamos integrando primeiro em z, depois y e por fim x.

Passo 3

Calculamos a integral interna em z:
integralz=1^e^x+y 1 ,dz = l[zr]1^e^x+y = e^x+y-1
Agora o volume vira
integral0^1!integral0^1l(e^x+y-1r),dy,dx

Passo 4

Integramos em y:
integraly=0^1l(e^x+y-1r),dy = e^xintegral0^1e^y,dy ;-;integral0^11,dy = e^x(e-1)-1
Então resta
integralx=0^1l(e^x(e-1)-1r),dx

Passo 5

Agora em x:
integral0^1l(e^x(e-1)-1r),dx = (e-1)integral0^1e^x,dx ;-;integral0^11,dx = (e-1)(e-1)-1 = (e-1)^2-1
Fazendo a expansão,
(e-1)^2-1 = e^2-2e+1-1 = e^2-2e

Resposta

Vol(S)=e^2-2e

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