Calcule as integrais duplas:
integral duplaD x1+y^2 d A onde D=[1,2] times[0,1]

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver uma integral dupla aqui. O enunciado pede para calcular integral duplaD x1+y^2 d A, onde a região D é o retângulo [1,2] times [0,1]. Vamos usar integração iterada, que é dividir a integral dupla em duas integrais simples, uma de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração D. Ela vai de x = 1 até x = 2 e de y = 0 até y = 1. Então, podemos escrever a integral dupla como uma integral com x variando de 1 a 2 e, para cada x, y varia de 0 a 1.

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a y. A integral interna é integral0^1 x1+y^2 dy. Aqui, x é tratado como uma constante. A integral de 11+y^2 em relação a y é arctan(y).

Passo 4

Calculando a integral interna, temos:
integral0^1 x1+y^2 dy = x [ arctan(y) ]0^1 = x ( arctan(1) - arctan(0) ) = x ( pi4 - 0 ) = pi4 x
Agora, integramos essa expressão em relação a x, de 1 a 2:
integral1^2 pi4 x dx = pi4 [ x^22 ]1^2 = pi4 ( 42 - 12 ) = pi4 ( 32 ) = 3pi8

Resposta

O valor da integral dupla é 3pi8.

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