Calcule as integrais duplas:
integral duplaD y d A onde D é a região do primeiro quadrante limitada pelas retas x+y=2 e y=0 e pela curva y=x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: integral duplaD y , dA. A região D está no primeiro quadrante e é limitada pelas retas x + y = 2, y = 0 (que é o eixo x) e pela curva y = x^2. Vamos usar conhecimentos de cálculo de integrais duplas para isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender bem a região D. No primeiro quadrante, x e y são positivos. As curvas que delimitam D são:
  • y = 0: o eixo x.
  • y = x^2: uma parábola que abre para cima.
  • x + y = 2: uma reta que intercepta os eixos x e y em 2.
Vamos encontrar os pontos onde essas curvas se intersectam para definir os limites da nossa integral.

Passo 3

Vamos encontrar a interseção entre y = x^2 e x + y = 2. Substituindo y na segunda equação:
x + x^2 = 2 x^2 + x - 2 = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
x = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32
Então, x = 1 ou x = -2. Como estamos no primeiro quadrante, consideramos x = 1. Assim, o ponto de interseção é (1, 1).

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração. Vamos integrar em relação a y primeiro e depois a x.
Para cada x entre 0 e 1, y varia de 0 até x^2. Para x entre 1 e 2, y varia de 0 até 2 - x.
Então, a integral dupla fica:
integral duplaD y , dA = integral0^1 integral0^x^2 y , dy , dx + integral1^2 integral0^2 - x y , dy , dx

Passo 5

Vamos calcular a primeira integral:
integral0^1 ( integral0^x^2 y , dy ) dx
Integrando y em relação a y:
integral0^x^2 y , dy = [ y^22 ]0^x^2 = (x^2)^22 = x^42
Então, a primeira integral se torna:
integral0^1 x^42 , dx = 12 integral0^1 x^4 , dx = 12 [ x^55 ]0^1 = 12 cdot 15 = 110

Passo 6

Agora, vamos calcular a segunda integral:
integral1^2 ( integral0^2 - x y , dy ) dx
Integrando y em relação a y:
integral0^2 - x y , dy = [ y^22 ]0^2 - x = (2 - x)^22
Então, a segunda integral se torna:
integral1^2 (2 - x)^22 , dx = 12 integral1^2 (4 - 4x + x^2) , dx
Integrando termo a termo:
12 [ 4x - 2x^2 + x^33 ]1^2 = 12 [ (8 - 8 + 83) - (4 - 2 + 13) ] = 12 ( 83 - 53 ) = 12 cdot 1 = 12

Resposta

Somando as duas integrais, temos:
integral duplaD y , dA = 110 + 12 = 610 = 35
Então, o valor da integral dupla é 35.

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