Calcule as integrais duplas:
onde
é a região do primeiro quadrante limitada pelas retas
e
e pela curva
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
. A região
está no primeiro quadrante e é limitada pelas retas
,
(que é o eixo
) e pela curva
. Vamos usar conhecimentos de cálculo de integrais duplas para isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender bem a região
. No primeiro quadrante,
e
são positivos. As curvas que delimitam
são:
-
: o eixo . -
: uma parábola que abre para cima. -
: uma reta que intercepta os eixos e em .
Vamos encontrar os pontos onde essas curvas se intersectam para definir os limites da nossa integral.
Passo 3
Vamos encontrar a interseção entre
e
. Substituindo
na segunda equação:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então,
ou
. Como estamos no primeiro quadrante, consideramos
. Assim, o ponto de interseção é
.
Passo 4
Agora, vamos definir os limites de integração. Vamos integrar em relação a
primeiro e depois a
.
Para cada
entre
e
,
varia de
até
. Para
entre
e
,
varia de
até
.
Então, a integral dupla fica:
Passo 5
Vamos calcular a primeira integral:
Integrando
em relação a
:
Então, a primeira integral se torna:
Passo 6
Agora, vamos calcular a segunda integral:
Integrando
em relação a
:
Então, a segunda integral se torna:
Integrando termo a termo:
Resposta
Somando as duas integrais, temos:
Então, o valor da integral dupla é
.