Definimos
para dizer que para todo
existe um
tal que, para todo
, se
, então
.
Mostre que
.
b)
Prove que se
para todo
, e
, então
.
b)
Passo 1
O enunciado introduz o conceito de limite que tende a
: dizemos que
se, para todo
, existe
tal que, sempre que
, temos
.
Vamos aplicar essa definição em duas situações:
.
.
. Se
e
, provar que
.
Vamos aplicar essa definição em duas situações:
Passo 2
Prova de (a). Dado
, queremos
tal que, se
, então
Note que
implica
. Portanto basta escolher
com
ou seja,
Para evitar problemas, podemos ainda exigir
. Assim, defina
Passo 3
Com essa escolha, se
então
Isso mostra, pela definição, que
Passo 4
Prova de (b). Sabemos que
para todo
e que
. Queremos mostrar
Note que
Logo basta provar que
limxto aepsilon|g(x)|=infty .
Passo 5
Dado
N>0 , precisamos
de<a>0 tal que
0<|x-a|<de<a implique
isto é,
|g(x)|<epsilon/N . Como
limxto ag(x)=0 , existe
de<a>0 com
0<|x-a|<de<a Rightarrow |g(x)|<epsilon/N . Então,
Passo 6
Portanto, pela definição de limite infinito,
limxto aepsilon|g(x)|=infty , e por consequência
limxto af(x)g(x)=infty .
Resposta
a)
limxto31(x-3)^2=infty .
b)limxto af(x)g(x)=infty .
b)