Definimos lim x a f(x)=infty para dizer que para todo N existe um de<a>0 tal que, para todo x, se 0<|x-a|<de<a, então f(x)>N.
a) star Mostre que lim x 3 1(x-3)^2=infty.
b) star Prove que se f(x)>epsilon>0 para todo x, e lim x a g(x)=0, então límx a f(x)g(x)=infty.

Passo 1

O enunciado introduz o conceito de limite que tende a infty: dizemos que
limxto af(x)=infty
se, para todo N>0, existe de<a>0 tal que, sempre que 0<|x-a|<de<a, temos f(x)>N.
Vamos aplicar essa definição em duas situações:
1. limxto31(x-3)^2=infty.
2. Se f(x)>epsilon>0 e limxto ag(x)=0, provar que limxto af(x)g(x)=infty.

Passo 2

Prova de (a). Dado N>0, queremos de<a>0 tal que, se 0<|x-3|<de<a, então
1(x-3)^2>N
Note que (x-3)^2<de<a^2 implica tfrac1(x-3)^2>tfrac1de<a^2. Portanto basta escolher de<a com
1de<a^2>= N,
ou seja,
de<a<=1raiz N
Para evitar problemas, podemos ainda exigir de<a<=1. Assim, defina
de<a=minl1,1raiz Nr

Passo 3

Com essa escolha, se 0<|x-3|<de<a então
(x-3)^2<de<a^2<=1N Longrightarrow 1(x-3)^2>N
Isso mostra, pela definição, que
limxto31(x-3)^2=infty

Passo 4

Prova de (b). Sabemos que f(x)>epsilon>0 para todo x e que limxto ag(x)=0. Queremos mostrar
limxto af(x)g(x)=infty
Note que
l|f(x)g(x)r| =f(x)|g(x)| >=epsilon|g(x)|
Logo basta provar que limxto aepsilon|g(x)|=infty.

Passo 5

Dado N>0, precisamos de<a>0 tal que 0<|x-a|<de<a implique
epsilon|g(x)|>N,
isto é, |g(x)|<epsilon/N. Como limxto ag(x)=0, existe de<a>0 com 0<|x-a|<de<a Rightarrow |g(x)|<epsilon/N. Então,
epsilon|g(x)|>epsilonepsilon/N=N

Passo 6

Portanto, pela definição de limite infinito, limxto aepsilon|g(x)|=infty, e por consequência
limxto af(x)g(x)=infty.

Resposta

a) limxto31(x-3)^2=infty.
b) limxto af(x)g(x)=infty.

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