Calcule as integrais duplas:
onde
é dada por
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais duplas. A gente precisa calcular a integral dupla de
sobre a região
onde
e
. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais duplas, que são usadas para encontrar volumes sob superfícies ou para calcular a soma de pequenas áreas em uma região bidimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar a integral dupla e depois calcular essa integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
sobre a qual estamos integrando. A região é um retângulo no plano
, onde
varia de 0 até
e
também varia de 0 até
. Isso facilita porque os limites de integração são constantes, então podemos configurar a integral dupla como duas integrais simples, uma dentro da outra.
Passo 3
A integral dupla que vamos calcular é:
Aqui,
representa um pequeno elemento de área na região
, e estamos integrando
sobre essa área.
Passo 4
Vamos começar integrando em relação a
primeiro, mantendo
como constante. A integral interna é:
Como
, podemos fatorar
para fora da integral:
Passo 5
Integrando
em relação a
:
Aplicando os limites de 0 a
:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integração interna na integral externa:
Para integrar
em relação a
:
Aplicando os limites de 0 a
:
Resposta
O valor da integral dupla é 1.