Calcule as integrais duplas:
integral duplaD e^x+y d A onde D é dada por 0 <= x <= ln (2) e 0 <= y <= ln (2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais duplas. A gente precisa calcular a integral dupla de e^x+y sobre a região D onde 0 <= x <= ln(2) e 0 <= y <= ln(2) . A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais duplas, que são usadas para encontrar volumes sob superfícies ou para calcular a soma de pequenas áreas em uma região bidimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar a integral dupla e depois calcular essa integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região D sobre a qual estamos integrando. A região é um retângulo no plano xy , onde x varia de 0 até ln(2) e y também varia de 0 até ln(2) . Isso facilita porque os limites de integração são constantes, então podemos configurar a integral dupla como duas integrais simples, uma dentro da outra.

Passo 3

A integral dupla que vamos calcular é:
integral duplaD e^x+y , dA = integral0^ln(2) integral0^ln(2) e^x+y , dy , dx
Aqui, dA representa um pequeno elemento de área na região D , e estamos integrando e^x+y sobre essa área.

Passo 4

Vamos começar integrando em relação a y primeiro, mantendo x como constante. A integral interna é:
integral0^ln(2) e^x+y , dy
Como e^x+y = e^x cdot e^y , podemos fatorar e^x para fora da integral:
e^x integral0^ln(2) e^y , dy

Passo 5

Integrando e^y em relação a y :
integral e^y , dy = e^y + C
Aplicando os limites de 0 a ln(2) :
e^x [ e^ln(2) - e^0 ] = e^x [ 2 - 1 ] = e^x cdot 1 = e^x

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integração interna na integral externa:
integral0^ln(2) e^x , dx
Para integrar e^x em relação a x :
integral e^x , dx = e^x + C
Aplicando os limites de 0 a ln(2) :
e^ln(2) - e^0 = 2 - 1 = 1

Resposta

O valor da integral dupla é 1.

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