Nos problemas 13 a 19, determine se cada função é contínua ou descontínua em cada intervalo.
16 f(x)=|x-5|x-5 em[-1,1],(-1,1),(-5, infty),(-infty, 5], e [-8,6]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x) = lvert x - 5rvertx - 5
é contínua ou descontínua nos intervalos
[-1,1], (-1,1), (-5,infty), (-infty,5] e [-8,6].
Para isso vamos usar o conceito de continuidade: uma função é contínua em um ponto se ali ela está definida e o limite coincide com o valor da função; num intervalo, exige-se continuidade em todos os pontos do intervalo (incluindo as “continuidade laterais” em extremos de intervalos fechados).

Passo 2

Primeiro achamos o domínio e simplificamos f. O denominador anula-se em x=5, logo
Dom(f)=Rsetminus5
Para xneq5 temos
lvert x-5rvert = 5 - x, & x<5, x - 5, & x>5,
então
f(x) = 5-xx-5=-1, & x<5,[6pt] x-5x-5=1, & x>5 ]

Passo 3

Em cada uma das duas regiões x<5 e x>5, f é uma função constante (respectivamente -1 e 1), e constantes são contínuas em todo ponto do domínio. Em x=5, f não está definida, portanto há descontinuidade nesse ponto.

Passo 4

Basta ver se 5 pertence ao intervalo considerado:
  • Nos intervalos [-1,1] e (-1,1) temos 5notin[-1,1] e 5notin(-1,1), então f está definida em todos os pontos do intervalo e, sendo constante ali, é contínua.
  • Nos demais intervalos (-5,infty), (-infty,5] e [-8,6] o ponto x=5 pertence ao intervalo. Como f não está definida em 5, ela falha em ser contínua nesses intervalos.

Resposta

[-1,1]: contínua
(-1,1): contínua
(-5,infty): descontínua
(-infty,5]: descontínua
[-8,6]: descontínua

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