Encontre os seguintes limites
star lim x infty x^2(1+sen^2 x)(x+sen x)^2.

Passo 1

O enunciado pede
limxtoinftyx^2l(1+sin^2xr)(x+sin x)^2
É um limite no infinito de uma razão de polinômios com termos oscilantes em sin x. Vamos usar fatoração e divisão por x^2.

Passo 2

Observe que
x+sin x ;=; xl(1+tfracsin xxr),
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(x+sin x)^2 = x^2l(1+tfracsin xxr)^2

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por x^2, obtemos
x^2(1+sin^2x)(x+sin x)^2 = 1+sin^2xl(1+tfracsin xxr)^2

Passo 4

Como limxtoinftytfracsin xx=0, o denominador tende a 1. Portanto
limxtoinftyx^2(1+sin^2x)(x+sin x)^2 = limxtoinftyl(1+sin^2xr)

Passo 5

Mas sin^2x oscila entre 0 e 1, então 1+sin^2x oscila entre 1 e 2 e não se fixa num único valor. Isso impede a existência do limite.

Resposta

O limite não existe. (De fato, liminf=1 e limsup=2.)

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