Calcule as integrais duplas:
onde
é a região limitada pelas retas
,
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver uma integral dupla. O enunciado pede para calcular
, onde a região
é delimitada pelas retas
,
,
e
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais duplas e entender como definir os limites de integração para a região dada.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. As retas
e
são linhas que partem da origem, e as retas verticais
e
vão cortar essas linhas. Então, nossa região
é um trapézio entre
e
, entre as linhas
e
.
Passo 3
Para calcular a integral dupla, precisamos decidir a ordem de integração. Vamos integrar primeiro com relação a
e depois com relação a
. Então, para cada
entre 1 e 2,
varia de
até
.
Passo 4
Vamos escrever a integral com os limites definidos:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a
. A integral de
com respeito a
é
.
Então, integramos:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Passo 7
Vamos integrar
com respeito a
:
Então, avaliamos de 1 a 2:
Passo 8
Multiplicamos pelo
que havia tirado da integral:
Resposta
O valor da integral dupla é
.