Calcule as integrais duplas:
integral duplaD xy d A onde D é a região limitada pelas retas y=x, y=2 x, x=1 e x=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma integral dupla. O enunciado pede para calcular integral duplaD xy , dA, onde a região D é delimitada pelas retas y = x, y = 2x, x = 1 e x = 2. Vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais duplas e entender como definir os limites de integração para a região dada.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região D. As retas y = x e y = 2x são linhas que partem da origem, e as retas verticais x = 1 e x = 2 vão cortar essas linhas. Então, nossa região D é um trapézio entre x = 1 e x = 2, entre as linhas y = x e y = 2x.

Passo 3

Para calcular a integral dupla, precisamos decidir a ordem de integração. Vamos integrar primeiro com relação a y e depois com relação a x. Então, para cada x entre 1 e 2, y varia de y = x até y = 2x.

Passo 4

Vamos escrever a integral com os limites definidos:
integralx=1^2 integraly=x^2x xy , dy , dx

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a y. A integral de xy com respeito a y é x ln|y|.
Então, integramos:
integraly=x^2x xy , dy = x [ ln y ]x^2x = x (ln(2x) - ln(x)) = x ln 2

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral1^2 x ln 2 , dx
ln 2 é uma constante, então podemos tirá-la da integral:
ln 2 integral1^2 x , dx

Passo 7

Vamos integrar x com respeito a x:
integral x , dx = x^22
Então, avaliamos de 1 a 2:
2^22 - 1^22 = 42 - 12 = 2 - 0.5 = 1.5

Passo 8

Multiplicamos pelo ln 2 que havia tirado da integral:
ln 2 times 1.5 = 32 ln 2

Resposta

O valor da integral dupla é 32 ln 2.

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