Nos problemas 13 a 19, determine se cada função é contínua ou descontínua em cada intervalo.
18 f(x)=5(2 x+1)4 x^2-1 em[-12, 12],(-12, 12),(-infty, 1),[-12, 0], e [12, infty)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a função
f(x)=5(2x+1)4x^2-1
é contínua ou descontínua nos intervalos
l[-tfrac12,tfrac12r], l(-tfrac12,tfrac12r), (-infty,1), l[-tfrac12,0r] e l[tfrac12,inftyr).
O conteúdo é continuidade de funções racionais, e precisaremos identificar onde o denominador se anula.

Passo 2

Encontramos os pontos em que f não está definida, resolvendo
4x^2-1=0 Longrightarrow x=pmtfrac12
Logo o domínio de f é Rsetminus,-tfrac12,tfrac12.
Sendo f uma função racional, ela é contínua em todo ponto do seu domínio, ou seja, em cada xneqpmtfrac12.

Passo 3

Intervalo l[-tfrac12,tfrac12r]: ele inclui os pontos x=-tfrac12 e x=tfrac12, onde f não está definida. Portanto f é descontínua em l[-tfrac12,tfrac12r].

Passo 4

Intervalo l(-tfrac12,tfrac12r): nesse intervalo os pontos pmtfrac12 são excluídos, e todo xin(-tfrac12,tfrac12) satisfaz xneqpmtfrac12. Assim f está definida e contínua em todo esse intervalo.

Passo 5

Intervalo (-infty,1): embora seja aberto em 1, ele contém x=-tfrac12 e x=tfrac12, pontos em que f falha. Logo f é descontínua em (-infty,1).

Passo 6

Intervalo l[-tfrac12,0r]: inclui x=-tfrac12, onde f não está definida. Consequentemente f é descontínua em l[-tfrac12,0r].

Passo 7

Intervalo l[tfrac12,inftyr): inclui x=tfrac12, ponto fora do domínio de f. Portanto f é descontínua em l[tfrac12,inftyr).

Resposta

l[-tfrac12,tfrac12r]: descontínua
l(-tfrac12,tfrac12r): contínua
(-infty,1): descontínua
l[-tfrac12,0r]: descontínua
l[tfrac12,inftyr): descontínua

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