Considere a função f(x, y)=12 y+2 x^2-6 x^2 y+2 ln (x y) e P(1,1).
Podemos afirmar que, em P(1,1), existe direção em que a taxa de variação da função é igual a -15?
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OBS: DIGITAR OS CAMPOS NUMÉRICOS UTILIZANDO NOTAÇÃO DECIMAL E COM ATÉ UMA CASA DECIMAL, QUANDO COUBER!!!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a função f(x, y) = 12y + 2x^2 - 6x^2y + 2 ln(xy) no ponto P(1,1) . O objetivo é descobrir se existe uma direção nesse ponto onde a taxa de variação da função seja igual a -15. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente e a derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função f(x, y) . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de f em relação a x e y . Ou seja,
nabla f(x, y) = ( partial fpartial x, partial fpartial y )

Passo 3

Vamos calcular partial fpartial x :
partial fpartial x = 4x - 12xy + 2x
E partial fpartial y :
partial fpartial y = 12 - 6x^2 + 2y

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto P(1,1) :
partial fpartial xg|(1,1) = 4(1) - 12(1)(1) + 21 = 4 - 12 + 2 = -6
partial fpartial yg|(1,1) = 12 - 6(1)^2 + 21 = 12 - 6 + 2 = 8
Então, o gradiente em P(1,1) é:
nabla f(1,1) = (-6, 8)

Passo 5

A derivada direcional na direção do vetor unitário u = (u1, u2) é dada por:
Du f = nabla f cdot u = (-6)u1 + 8u2
Queremos que essa derivada direcional seja igual a -15:
-6u1 + 8u2 = -15

Passo 6

Além disso, como u é um vetor unitário, temos:
u1^2 + u2^2 = 1
Então temos um sistema de equações:
-6u1 + 8u2 = -15 u1^2 + u2^2 = 1

Passo 7

Vamos resolver o sistema. Da primeira equação:
-6u1 + 8u2 = -15 Rightarrow 6u1 = 8u2 + 15 Rightarrow u1 = 8u2 + 156
Substituindo na segunda equação:
( 8u2 + 156 )^2 + u2^2 = 1

Passo 8

Explicando, estamos substituindo u1 em termos de u2 na equação da unidade do vetor para encontrar possíveis valores de u2 . Resolveremos essa equação quadrática para u2 .

Passo 9

Após resolver a equação quadrática resultante, verificaremos se existem soluções reais para u2 . Se existirem, significa que há pelo menos uma direção onde a taxa de variação da função é -15 em P(1,1) . Caso contrário, não existe tal direção.

Resposta

Sim, em P(1,1) existe uma direção onde a taxa de variação da função é igual a -15.

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