Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo parabolóide z= x^2+y^2, o plano x+y=1 e os planos coordenados.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que vive no primeiro octante (ou seja, x>=0, y>=0, z>=0) e é limitado pelo parabolóide
z = x^2 + y^2,
pelo plano vertical
x+y=1
e pelos planos coordenados x=0, y=0 e z=0.
Para resolver usamos a ideia de integral tripla em coordenadas cartesianas, projetando o sólido no plano xy.

Passo 2

A projeção D do sólido no plano xy é o triângulo definido por
x>=0, y>=0, x+y<=1
Em cada ponto (x,y)in D, o sólido vai de z=0 até z=x^2+y^2. Logo
0<= z<= x^2+y^2

Passo 3

O volume V é dado por
V = integral triplaregião dV = integral duplaDl(integral0^,x^2+y^2dzr),dA = integral duplaD(x^2+y^2),dA ã
Em coordenadas cartesianas isso vira
V = integralx=0^1integraly=0^1-x(x^2+y^2),dy,dx

Passo 4

Primeiro, integramos em y:
integral0^1-x(x^2+y^2),dy = x^2,(1-x);+;(1-x)^33
Portanto
V = integral0^1l[x^2(1-x)+tfrac(1-x)^33r],dx

Passo 5

Agora integramos em x. Expandindo e simplificando,
x^2(1-x)+tfrac(1-x)^33 = tfrac13-x+2x^2-tfrac43x^3
Então
V = integral0^1l(tfrac13-x+2x^2-tfrac43x^3r),dx = l[tfracx3-tfracx^22+tfrac2x^33-tfrac4x^412r]0^1 = tfrac16

Resposta

O volume do sólido é tfrac16.

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