Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo parabolóide
, o plano
os planos coordenados.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que vive no primeiro octante (ou seja,
,
,
) e é limitado pelo parabolóide
pelo plano vertical
e pelos planos coordenados
,
e
.
Para resolver usamos a ideia de integral tripla em coordenadas cartesianas, projetando o sólido no plano .
Para resolver usamos a ideia de integral tripla em coordenadas cartesianas, projetando o sólido no plano
Passo 2
A projeção
do sólido no plano
é o triângulo definido por
Em cada ponto
, o sólido vai de
até
. Logo
Passo 3
O volume
é dado por
Em coordenadas cartesianas isso vira
Passo 4
Primeiro, integramos em
:
Portanto
Passo 5
Agora integramos em
. Expandindo e simplificando,
Então
Resposta
O volume do sólido é
.