Derive:
g(x)=x+3x-1+x+2x+1

Passo 1

Então, a gente tem que derivar a função $ \mathrm{g}(\mathrm{x}) = \frac{x+3}{x-1} + \frac{x+2}{x+1} $. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as regras de derivação de quocientes e somas de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada da soma de duas funções é a soma das derivadas delas. Ou seja, se $ \mathrm{g}(x) = f(x) + h(x) $, então $ \mathrm{g}’(x) = f’(x) + h’(x) $.

Passo 3

Agora, vamos derivar cada uma das frações separadamente. Vamos começar com $ f(x) = \frac{x+3}{x-1} $. Para derivar uma função que é uma fração, usamos a regra do quociente: se $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $, então $ f’(x) = \frac{u’(x)v(x) - u(x)v’(x)}{[v(x)]^2} $.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente em $ f(x) = \frac{x+3}{x-1} $:
  • $ u(x) = x + 3 $ então $ u’(x) = 1 $
  • $ v(x) = x - 1 $ então $ v’(x) = 1 $
    Então,
f(x) = x+3x-1

Passo 5

Agora, vamos derivar a segunda fração $ h(x) = \frac{x+2}{x+1} $ usando a mesma regra do quociente:
  • $ u(x) = x + 2 $ então $ u’(x) = 1 $
  • $ v(x) = x + 1 $ então $ v’(x) = 1 $
    Então,
h(x) = x+2x+1

Passo 6

Agora que temos as derivadas de $ f(x) $ e $ h(x) $, vamos somá-las para encontrar a derivada da função $ \mathrm{g}(x) $:
f(x)

Resposta

A derivada da função $ \mathrm{g}(x) $ é:
g(x)

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