Derive:
Passo 1
Então, a gente tem que derivar a função $ \mathrm{g}(\mathrm{x}) = \frac{x+3}{x-1} + \frac{x+2}{x+1} $. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as regras de derivação de quocientes e somas de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada da soma de duas funções é a soma das derivadas delas. Ou seja, se $ \mathrm{g}(x) = f(x) + h(x) $, então $ \mathrm{g}’(x) = f’(x) + h’(x) $.
Passo 3
Agora, vamos derivar cada uma das frações separadamente. Vamos começar com $ f(x) = \frac{x+3}{x-1} $. Para derivar uma função que é uma fração, usamos a regra do quociente: se $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $, então $ f’(x) = \frac{u’(x)v(x) - u(x)v’(x)}{[v(x)]^2} $.
Passo 4
Aplicando a regra do quociente em $ f(x) = \frac{x+3}{x-1} $:
- $ u(x) = x + 3 $ então $ u’(x) = 1 $
- $ v(x) = x - 1 $ então $ v’(x) = 1 $
Então,
Passo 5
Agora, vamos derivar a segunda fração $ h(x) = \frac{x+2}{x+1} $ usando a mesma regra do quociente:
- $ u(x) = x + 2 $ então $ u’(x) = 1 $
- $ v(x) = x + 1 $ então $ v’(x) = 1 $
Então,
Passo 6
Agora que temos as derivadas de $ f(x) $ e $ h(x) $, vamos somá-las para encontrar a derivada da função $ \mathrm{g}(x) $:
Resposta
A derivada da função $ \mathrm{g}(x) $ é: