Calcule as integrais duplas na região retangular R.
integral duplaR x raiz1-x^2 d A ; R=(x, y): 0 <= x <= 1,2 <= y <= 3

Passo 1

Resumo do Enunciado: Precisamos calcular a integral dupla na região retangular da função . O conteúdo envolve integrais duplas sobre regiões retangulares. Para resolver, vamos precisar usar integrais iteradas e saber integrar funções de duas variáveis.

Passo 2

Configurando a Integral Dupla: Como a região integral duplaR x raiz1 - x^2 , dA = integralx=0^1 integraly=2^3 x raiz1 - x^2 , dy , dx é retangular e a função não depende de , podemos separar a integral em duas integrais simples. A integral dupla fica:

Passo 3

Integrando em Relação a integraly=2^3 x raiz1 - x^2 , dy = x raiz1 - x^2 times (3 - 2) = x raiz1 - x^2 : A função não depende de , então a integral em é simplesmente a multiplicação pela largura do intervalo de , que é .

Passo 4

Restando a Integral em integral0^1 x raiz1 - x^2 , dx : Agora, temos que calcular a integral simples em relação a :
Para resolver essa, vamos usar uma substituição.

Passo 5

Substituição para Integrar: Vamos fazer a substituição integral x raiz1 - x^2 , dx = -12 integral raizu , du = -12 times 23 u^3/2 + C = -13 u^3/2 + C . Então, derivando ambos os lados, temos , ou seja, .
Substituindo na integral:

Passo 6

Voltando para -13 (1 - x^2)^3/2 e Avaliando os Limites: Substituindo [ -13 (1 - x^2)^3/2 ]0^1 = -13 (1 - 1^2)^3/2 + 13 (1 - 0^2)^3/2 = 0 + 13 = 13 de volta:
Agora, avaliamos de a :

Resposta

A integral dupla é igual a .

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