Calcule as integrais duplas na região retangular
.
Passo 1
Resumo do Enunciado: Precisamos calcular a integral dupla na região retangular
da função
. O conteúdo envolve integrais duplas sobre regiões retangulares. Para resolver, vamos precisar usar integrais iteradas e saber integrar funções de duas variáveis.
Passo 2
Configurando a Integral Dupla: Como a região
é retangular e a função
não depende de
, podemos separar a integral em duas integrais simples. A integral dupla fica:
Passo 3
Integrando em Relação a
: A função
não depende de
, então a integral em
é simplesmente a multiplicação pela largura do intervalo de
, que é
.
Passo 4
Restando a Integral em
: Agora, temos que calcular a integral simples em relação a
:
Para resolver essa, vamos usar uma substituição.
Passo 5
Substituição para Integrar: Vamos fazer a substituição
. Então, derivando ambos os lados, temos
, ou seja,
.
Substituindo na integral:
Passo 6
Voltando para
e Avaliando os Limites: Substituindo
de volta:
Agora, avaliamos de
a
:
Resposta
A integral dupla é igual a
.