Calcule as integrais duplas na região retangular R.
integral duplaR 4 x y^3 d A ; R=(x, y):-1 <= x <= 1,-2 <= y <= 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa calcular uma integral dupla sobre uma região retangular . A função que vamos integrar é e a região é definida por e . Para isso, vamos usar o conceito de integrais duplas, que nos permite calcular o volume sob a superfície da função dentro dessa área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como configurar a integral dupla. Como a região integral duplaR f(x, y) , dA = integrala^b ( integralc^d f(x, y) , dy ) dx é retangular e os limites de e são constantes, podemos escrever a integral como um produto de duas integrais simples. A fórmula geral para uma integral dupla sobre uma região retangular é:
No nosso caso, , , , e .

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a integral-2^2 4xy^3 , dy primeiro. A integral interna fica assim:
4x integral-2^2 y^3 , dy
Como é tratado como uma constante em relação a , podemos factorar o para facilitar:
Agora, precisamos calcular a antiderivada de , que é .

Passo 4

Aplicando os limites de integração:
4x [ y^44 ]-2^2 = 4x ( 2^44 - (-2)^44 ) = 4x ( 164 - 164 ) = 4x (4 - 4) = 4x times 0 = 0
Viu só? A integral interna resulta em zero. Isso acontece porque é uma função ímpar e estamos integrando de a , o que faz as áreas positiva e negativa se cancelarem.

Passo 5

Agora, integrando o resultado com relação a integral-1^1 0 , dx = 0 :

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados