Calcule as integrais duplas na região retangular
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa calcular uma integral dupla sobre uma região retangular
. A função que vamos integrar é
e a região
é definida por
e
. Para isso, vamos usar o conceito de integrais duplas, que nos permite calcular o volume sob a superfície da função dentro dessa área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como configurar a integral dupla. Como a região
é retangular e os limites de
e
são constantes, podemos escrever a integral como um produto de duas integrais simples. A fórmula geral para uma integral dupla sobre uma região retangular é:
No nosso caso,
,
,
,
e
.
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a
primeiro. A integral interna fica assim:
Como
é tratado como uma constante em relação a
, podemos factorar o
para facilitar:
Agora, precisamos calcular a antiderivada de
, que é
.
Passo 4
Aplicando os limites de integração:
Viu só? A integral interna resulta em zero. Isso acontece porque
é uma função ímpar e estamos integrando de
a
, o que faz as áreas positiva e negativa se cancelarem.
Passo 5
Agora, integrando o resultado com relação a
:
Resposta
O valor da integral dupla é
.