Encontre o volume do sólido delimitado pelo cone
e pelos planos
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é limitado por um cone dado pela equação
e pelos planos
e
. Esse tipo de problema envolve cálculo de volumes usando coordenadas polares ou cilíndricas, já que estamos lidando com formas circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma do sólido. O cone
pode ser reescrito como
em coordenadas cilíndricas, onde
é a distância do ponto à origem no plano
. Isso facilita bastante nossos cálculos.
Passo 3
Os planos
e
são horizontais e vão cortar o cone em duas alturas diferentes. Isso significa que nosso sólido está entre essas duas alturas no cone.
Passo 4
Para calcular o volume, vamos usar coordenadas cilíndricas porque o problema tem simetria circular. A fórmula do volume em coordenadas cilíndricas é:
Aqui,
vai de 0 até o raio no nível inferior, que é
, então
. E
vai de
até 3.
Passo 5
Vamos integrar passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Passo 7
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.