Encontre o volume do sólido delimitado pelo cone z = raiz(x^2 + y^2) e pelos planos z = 2 e z = 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é limitado por um cone dado pela equação e pelos planos e . Esse tipo de problema envolve cálculo de volumes usando coordenadas polares ou cilíndricas, já que estamos lidando com formas circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma do sólido. O cone pode ser reescrito como em coordenadas cilíndricas, onde é a distância do ponto à origem no plano . Isso facilita bastante nossos cálculos.

Passo 3

Os planos e são horizontais e vão cortar o cone em duas alturas diferentes. Isso significa que nosso sólido está entre essas duas alturas no cone.

Passo 4

Para calcular o volume, vamos usar coordenadas cilíndricas porque o problema tem simetria circular. A fórmula do volume em coordenadas cilíndricas é:
Aqui, vai de 0 até o raio no nível inferior, que é , então . E vai de até 3.

Passo 5

Vamos integrar passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :

Passo 6

Agora, integramos em relação a :

Passo 7

Por fim, integramos em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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