- (2,5 pontos) Calcule a integral
, onde
é a regiào do primeiro quadrante entre os circulos na origem e raios 1 e 4 .
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a integral dupla
, onde a região
está no primeiro quadrante entre dois círculos com raios 1 e 4. Vamos usar o conteúdo de integração em coordenadas polares, que facilita esse tipo de cálculo envolvendo círculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que, em coordenadas polares, qualquer ponto
pode ser representado como
, onde
é a distância até a origem e
é o ângulo com o eixo positivo
. A área diferencial em coordenadas polares é
.
Passo 3
A função que vamos integrar é
. Em coordenadas polares, isso fica
, porque
. Então, a integral dupla em coordenadas polares fica:
Passo 4
Agora, vamos definir os limites de integração. Como estamos no primeiro quadrante, o ângulo
vai de
a
. O raio
varia entre os círculos de raio 1 e 4, então
vai de 1 a 4. Assim, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição: seja
, então
ou
. Substituindo, temos:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
A integral de
de
a
é simplesmente
.
Passo 7
Multiplicando tudo, temos:
Resposta
A integral vale
.