1. (2,5 pontos) Calcule a integral integral duplaR e^-(x^2+y^2) d A, onde R é a regiào do primeiro quadrante entre os circulos na origem e raios 1 e 4 .

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral dupla , onde a região está no primeiro quadrante entre dois círculos com raios 1 e 4. Vamos usar o conteúdo de integração em coordenadas polares, que facilita esse tipo de cálculo envolvendo círculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que, em coordenadas polares, qualquer ponto pode ser representado como , onde é a distância até a origem e é o ângulo com o eixo positivo . A área diferencial em coordenadas polares é .

Passo 3

A função que vamos integrar é integral duplaR e^-r^2 cdot r , dr , dtheta . Em coordenadas polares, isso fica , porque . Então, a integral dupla em coordenadas polares fica:

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração. Como estamos no primeiro quadrante, o ângulo integral0^pi2 integral1^4 e^-r^2 cdot r , dr , dtheta vai de a . O raio varia entre os círculos de raio 1 e 4, então vai de 1 a 4. Assim, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral1^4 e^-r^2 cdot r , dr :
-12 integralu(1)^u(4) e^u , du = -12 [ e^u ]-1^-16 = -12 ( e^-16 - e^-1 ) = 12 ( e^-1 - e^-16 )
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição: seja , então ou . Substituindo, temos:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^pi2 12 ( e^-1 - e^-16 ) dtheta = 12 ( e^-1 - e^-16 ) integral0^pi2 dtheta
A integral de de a é simplesmente .

Passo 7

Multiplicando tudo, temos:
12 ( e^-1 - e^-16 ) cdot pi2 = pi4 ( e^-1 - e^-16 )

Resposta

A integral vale .

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