Represente o sólido limitado pelo parabolóide z = 4 - x^2 - y^2 e o plano z = 0, de densidade S(r, theta, z) = 5 - z e determine sua massa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo que pede para a gente encontrar a massa de um sólido. Esse sólido está limitado por um parabolóide e o plano . Além disso, a densidade desse sólido é dada por . Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas cilíndricas e integrar a densidade sobre o volume do sólido para encontrar a massa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma do sólido. O parabolóide abre para baixo e corta o plano quando , ou seja, quando . Isso significa que a base do sólido no plano é um círculo de raio 2.

Passo 3

Como estamos lidando com simetria circular, é melhor usar coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, , e . O diferencial de volume em coordenadas cilíndricas é .

Passo 4

Vamos definir os limites de integração:
  • varia de 0 a 2 (o raio do círculo na base).
  • varia de 0 a (uma volta completa).
  • Para cada , varia de 0 (plano) até (parabolóide).

Passo 5

A massa do sólido pode ser encontrada integrando a densidade sobre todo o volume. Então, temos:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, com respeito a :
Simplificando:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na integral:
Multiplicando :

Passo 8

Vamos resolver a integral com respeito a :
Calculando em :

Passo 9

Agora, a integral com respeito a :

Resposta

A massa do sólido é unidades de massa.

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