Represente o sólido limitado pelo parabolóide
e o plano
, de densidade
e determine sua massa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo que pede para a gente encontrar a massa de um sólido. Esse sólido está limitado por um parabolóide
e o plano
. Além disso, a densidade desse sólido é dada por
. Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas cilíndricas e integrar a densidade sobre o volume do sólido para encontrar a massa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma do sólido. O parabolóide
abre para baixo e corta o plano
quando
, ou seja, quando
. Isso significa que a base do sólido no plano
é um círculo de raio 2.
Passo 3
Como estamos lidando com simetria circular, é melhor usar coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas,
,
e
. O diferencial de volume em coordenadas cilíndricas é
.
Passo 4
Vamos definir os limites de integração:
-
varia de 0 a 2 (o raio do círculo na base). -
varia de 0 a (uma volta completa). - Para cada
, varia de 0 (plano) até (parabolóide).
Passo 5
A massa
do sólido pode ser encontrada integrando a densidade
sobre todo o volume. Então, temos:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, com respeito a
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na integral:
Multiplicando
:
Passo 8
Vamos resolver a integral com respeito a
:
Calculando em
:
Passo 9
Agora, a integral com respeito a
:
Resposta
A massa do sólido é
unidades de massa.