A série a seguir é denominada telescópica. Expresse a fração como uma soma de frações parciais, desenvolva a série e avalie a soma, se a série convergente, se sim, calcule a sua soma.
Passo 1
Neste exercício, temos a série infinita
. Vamos trabalhar com séries telescópicas, que são séries onde muitos termos se cancelam quando desenvolvemos a soma. Para resolver, precisaremos:
- Decompor a fração
em frações parciais. - Desenvolver a série usando essa decomposição.
- Verificar se a série é convergente.
- Se for convergente, calcular a sua soma.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração
em frações parciais. Isso significa escrever a fração como a soma de duas frações mais simples. Assumimos que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de A e B.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos e agrupamos os termos:
Passo 4
Para que a igualdade seja válida para todo n, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos:
- Coeficiente de
: - Termo constante:
Resolvendo o sistema:
-
→ -
���
Então,
.
Passo 5
Agora que encontramos A e B, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Passo 6
Substituímos a fração original na série pela decomposição encontrada:
Vamos desenvolver os primeiros termos da série para observar o padrão de cancelamento:
Passo 7
Observamos que muitos termos se cancelam:
Os termos negativos e positivos a partir de
se cancelam, deixando apenas os primeiros termos:
Passo 8
Como a série é telescópica e os termos restantes somam a série infinita, a soma total é:
Resposta
A série é convergente e sua soma é
.