A série a seguir é denominada telescópica. Expresse a fração como uma soma de frações parciais, desenvolva a série e avalie a soma, se a série convergente, se sim, calcule a sua soma.
sumn=2^infty 3n(n+3)

Passo 1

Neste exercício, temos a série infinita sumn=2^infty 3n(n+3). Vamos trabalhar com séries telescópicas, que são séries onde muitos termos se cancelam quando desenvolvemos a soma. Para resolver, precisaremos:
  1. Decompor a fração 3n(n+3) em frações parciais.
  2. Desenvolver a série usando essa decomposição.
  3. Verificar se a série é convergente.
  4. Se for convergente, calcular a sua soma.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração 3n(n+3) em frações parciais. Isso significa escrever a fração como a soma de duas frações mais simples. Assumimos que:
3n(n+3) = An + Bn+3
Nosso objetivo é encontrar os valores de A e B.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados da equação por n(n+3) para eliminar os denominadores:
3 = A(n+3) + Bn
Agora, expandimos e agrupamos os termos:
3 = An + 3A + Bn
3 = (A + B)n + 3A

Passo 4

Para que a igualdade seja válida para todo n, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos:
  1. Coeficiente de n: A + B = 0
  2. Termo constante: 3A = 3
Resolvendo o sistema:
  1. A + B = 0 B = -A
  2. 3A = 3 ��� A = 1
Então, B = -1.

Passo 5

Agora que encontramos A e B, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
3n(n+3) = 1n - 1n+3

Passo 6

Substituímos a fração original na série pela decomposição encontrada:
sumn=2^infty ( 1n - 1n+3 )
Vamos desenvolver os primeiros termos da série para observar o padrão de cancelamento:
( 12 - 15 ) + ( 13 - 16 ) + ( 14 - 17 ) + ( 15 - 18 ) + cdots

Passo 7

Observamos que muitos termos se cancelam:
12 + 13 + 14 - 15 - 16 - 17 + 15 + 16 + cdots
Os termos negativos e positivos a partir de 15 se cancelam, deixando apenas os primeiros termos:
12 + 13 + 14

Passo 8

Como a série é telescópica e os termos restantes somam a série infinita, a soma total é:
12 + 13 + 14 = 612 + 412 + 312 = 1312

Resposta

A série é convergente e sua soma é 1312.

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