Encontre a solução geral da equação diferencial. (e) 9 y'' + 6 y' + y = 0,

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de problema faz parte do estudo das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que envolve encontrar as raízes da equação característica associada.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma , a equação característica é . No nosso caso, temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:

Passo 4

Encontramos que a equação característica tem uma raiz dupla . Isso significa que a soluções gerais da equação diferencial serão baseadas nessa raiz dupla.

Passo 5

Quando temos raízes reais e iguais na equação característica, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde e são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais, se forem fornecidas.

Passo 6

Substituindo o valor de na fórmula da solução geral, temos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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