Encontre a solução geral da equação diferencial. (e)
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de problema faz parte do estudo das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que envolve encontrar as raízes da equação característica associada.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma
, a equação característica é
. No nosso caso, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Passo 4
Encontramos que a equação característica tem uma raiz dupla
. Isso significa que a soluções gerais da equação diferencial serão baseadas nessa raiz dupla.
Passo 5
Quando temos raízes reais e iguais na equação característica, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde
e
são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais, se forem fornecidas.
Passo 6
Substituindo o valor de
na fórmula da solução geral, temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é: