Calcule as integrais duplas nas regiões indicadas:
integral duplaR(x sen(x y)) d A ; R=(x, y) in IR^2 / 0 <= x <= pi, 0 <= y <= 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaR l(x,sin(xy)r),dA,
onde
R = (x,y)inR^2 mid 0 <= x <= pi,;0 <= y <= 1
O conteúdo aqui é cálculo de integrais iteradas em retângulo e vamos usar a troca de ordem de integração (ou integrar em y primeiro, depois em x).

Passo 2

Escrevemos a integral como iterada em y e depois em x:
integral duplaR x,sin(xy),dA =integralx=0^pi!l(integraly=0^1 x,sin(xy),dyr),dx

Passo 3

Dentro, a constante em relação a y é x, então
integraly=0^1 x,sin(xy),dy =xintegral0^1sin(xy),dy
Para integral0^1sin(xy),dy, fazemos a substituição interna ou reconhecemos a primitiva
integral sin(xy),dy = -cos(xy)x
Logo, avaliando de y=0 a y=1:
integral0^1sin(xy),dy =l[-tfraccos(xy)xr]0^1 =-cos(x)x+cos(0)x =-cos(x)x+1x

Passo 4

Multiplicando por x, obtemos
xintegral0^1sin(xy),dy =-cos(x)+1
Então a integral dupla vira
integral0^pil(-cos(x)+1r),dx

Passo 5

Agora separamos em duas integrais simples:
integral0^pi(-cos(x)+1),dx =-integral0^picos(x),dx+integral0^pi1,dx
Calculamos:
-integral0^picos(x),dx =-l[sin(x)r]0^pi =-(sin(pi)-sin(0))=0,
e
integral0^pi1,dx=pi

Passo 6

Somando os resultados, a integral total vale
0+pi=pi

Resposta

pi

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