Calcule as integrais duplas nas regiões indicadas:
integral duplaR(x sen(y)) d A ; R=(x, y) in R^2 / 0 <= x <= pi, 0 <= y <= x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla da função ,f(x,y)=xsin(y), sobre a região
R=(x,y)inR^2 mid 0<= x<=pi,;0<= y<= x
Vamos usar o Teorema de Fubini para escrever a integral dupla como uma integral iterada e depois executar a integração em duas etapas.

Passo 2

Pela descrição de R, primeiramente integramos em y de 0 até x, depois em x de 0 até pi. Assim,
integral duplaR xsin(y),dA =integralx=0^pil(,integraly=0^xxsin(y),dyr),dx

Passo 3

Calculemos a integral interna em y:
integral0^xxsin(y),dy =xintegral0^xsin(y),dy =xl[-cos(y)r]0^x =xl(-cos(x)+cos(0)r) =xl(1-cos(x)r)

Passo 4

Substituindo na integral em x, obtemos
integral0^pixl(1-cos(x)r),dx =integral0^pix,dx ;-;integral0^pixcos(x),dx
Calculemos primeiro
integral0^pix,dx =l[tfracx^22r]0^pi =pi^22

Passo 5

Agora a integral por partes
integral0^pixcos(x),dx
Escolhemos u=x, dv=cos(x),dx, logo du=dx, v=sin(x). Assim,
integral xcos(x),dx =xsin(x)-integralsin(x),dx =xsin(x)+cos(x)+C
Avaliando de 0 a pi:
l[xsin(x)+cos(x)r]0^pi =l(picdot0+(-1)r)-l(0cdot0+1r) =-1-1=-2

Passo 6

Voltando à expressão principal,
integral0^pixl(1-cos(x)r),dx =pi^22-l(-2r) =pi^22+2

Resposta

integral duplaRxsin(y),dA =pi^22+2

Exercícios relacionados