Calcule as integrais duplas nas regiões indicadas:
integral duplaR y d A ; R=(x, y) in R^2 / 0 <= x <= pi, 0 <= y <= sen x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaRy,dA
onde a região R é dada por
R = (x,y)mid 0<= x<= pi,;0<= y<= sin x
O conteúdo aqui é integração em coordenadas cartesianas e usaremos a regra de Fubini, integrando primeiro em y e depois em x.

Passo 2

Escrevendo a integral em ordem dy,dx, temos
integral duplaRy,dA =integralx=0^pil(integraly=0^sin xy,dyr),dx

Passo 3

Calculamos a integral interna em y:
integral0^sin xy,dy =[tfracy^22]0^sin x =tfrac(sin x)^22
Logo a integral vira
integral0^pisin^2x2,dx

Passo 4

Para calcular
integral0^pisin^2x,dx
usamos a identidade
sin^2x=1-cos(2x)2,
então
integral0^pisin^2x,dx =12integral0^pi(1-cos(2x)),dx =12l[x-tfracsin(2x)2r]0^pi =12l(pi-0r) =pi2
Como havia um fator tfrac12 externo, o valor final é
12cdotpi2=pi4

Resposta

pi4

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