Calcule as integrais duplas nas regiões indicadas:
integral duplaR(7 x y-2 y^2) d A; R é a região do 1^circ quadrante limitada por x=y ; y=x / 3 e x=3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
I = integral duplaR l(7xy - 2y^2r),dA
na região do primeiro quadrante limitada pelas retas x = y, y = x/3 e x = 3. Vamos usar o Teorema de Fubini e escolher uma ordem de integração que facilite a escolha dos limites.

Passo 2

Se integrarmos primeiro em y, vemos que para cada x entre 0 e 3, o valor de y varia de y = x/3 até y = x. Assim,
R = (x,y)mid 0 <= x <= 3,;tfracx3 <= y <= x

Passo 3

Escrevemos então a integral iterada:
I = integralx=0^3 l(integraly=x3^x (7xy - 2y^2),dyr),dx
Calculemos a integral interna em y:
integralx3^x 7x,y,dy =7x[y^22]x3^x =7x;x^2 - x^292 =289,x^3,
integralx3^x 2y^2,dy =2[y^33]x3^x =5281,x^3
Logo o núcleo da integral fica
289x^3 ;-;5281x^3 =20081,x^3

Passo 4

Agora integramos em x:
I = integral0^3 20081,x^3,dx =20081[x^44]0^3 =20081cdot814 =50

Resposta

50

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