Calcule as integrais duplas nas regiões D indicadas.
integral duplaD cos (y^3) d x d y, onde D é a região limitada por y=raizx, y=2 e x=0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaD cosl(y^3r),dx,dy
onde D é a região limitada pelas curvas y=raizx, y=2 e x=0. O conteúdo aqui é aplicação do Teorema de Fubini para escrever a integral iterada e depois usar substituição para resolver a integral em y.

Passo 2

Para descrever D, note que y=raizx implica x=y^2. A interseção de y=raizx com x=0 ocorre em y=0. Como y vai de 0 até 2 e, para cada y, x varia de 0 até y^2, temos
integral duplaD cosl(y^3r),dx,dy = integraly=0^2 l(integralx=0^y^2 cosl(y^3r),dxr) dy

Passo 3

Como cosl(y^3r) independe de x, a integral interna é
integral0^y^2 cosl(y^3r),dx = l[x,cosl(y^3r)r]0^y^2 = y^2,cosl(y^3r)
Logo a integral reduz a
integral0^2 y^2,cosl(y^3r),dy

Passo 4

Para calcular
integral0^2 y^2,cosl(y^3r),dy
fazemos a substituição u = y^3, de onde du = 3,y^2,dy e y^2,dy = tfracdu3. Quando y=0 temos u=0, e quando y=2 temos u=8. Assim
integral0^2 y^2,cosl(y^3r),dy = integral0^8 cos(u),du3 = 13integral0^8 cos(u),du

Passo 5

Ainda usando o cálculo da integral de cos(u),
13integral0^8 cos(u),du = 13l[sin(u)r]0^8 = 13l(sin(8)-sin(0)r) = sin(8)3

Resposta

integral duplaD cosl(y^3r),dx,dy = sin(8)3

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