Questão extra:
Considere a equação d yd x+p(x) y=q(t). Mostre que se y1(x) e y2(x) são soluções desta equação, então y(x)=c1 y1(x)+c2 y2(x), com c1 e c2 constantes quaisquer, também é solução da equação.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de primeira ordem
dydx + p(x),y = 0
(do tipo “linear homogênea”), e pede para mostrar que, se y1(x) e y2(x) são soluções, então
y(x) = c1,y1(x) + c2,y2(x)
também é solução. O que vamos usar é o fato de que o operador
L[y] = dydx + p(x),y
é linear.

Passo 2

Mostramos primeiro a linearidade de L: para qualquer constante c e funções ya,yb, vale
L[c,ya] = ddx(c,ya) + p(x),(c,ya) = cl(dyadx + p(x),yar) = c,L[ya],
L[ya + yb] = L[ya] + L[yb]

Passo 3

Como y1 e y2 são soluções, temos
L[y1]=0 e L[y2]=0
Então, aplicando L à combinação linear,
L[c1y1 + c2y2] = c1,L[y1] + c2,L[y2] = c1cdot 0 + c2cdot 0 = 0
Isso mostra que y=c1y1+c2y2 satisfaz a equação original.

Resposta

y(x)=c1y1(x)+c2y2(x) é solução da equação dydx+p(x),y=0 para quaisquer constantes c1,c2.

Exercícios relacionados