Calcule as integrais duplas nos retângulos R indicados.
integral duplaR(2 y^2-3 x y^3) d x d y, onde R é o retângulo R=[1,2] times[0,3]

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral dupla
integral duplaRl(2y^2-3xy^3r),dx,dy
no retângulo R = [1,2]times[0,3]. O conteúdo é integração dupla em retângulo e vamos usar o Teorema de Fubini para escrever como integral iterada.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, escrevemos a integral como iterada, primeiro em x e depois em y:
integraly=0^3l(integralx=1^2(2y^2-3xy^3),dxr),dy

Passo 3

Calculamos a integral interna em x:
integralx=1^2(2y^2-3xy^3),dx =2y^2integral1^2dx ;-;3y^3integral1^2x,dx
Como integral1^2dx=1 e
integral1^2x,dx=l[tfracx^22r]1^2=tfrac4-12=tfrac32,
temos
2y^2cdot1 ;-;3y^3cdottfrac32 =;2y^2-tfrac92y^3

Passo 4

Agora integramos em y:
integral0^3l(2y^2-tfrac92y^3r),dy =2integral0^3y^2,dy ;-;tfrac92integral0^3y^3,dy
Como integral0^3y^2,dy=l[y^3/3r]0^3=27/3=9 e
integral0^3y^3,dy=l[y^4/4r]0^3=81/4,
segue
2cdot9 ;-;tfrac92cdottfrac814 =18 - tfrac7298 =tfrac1448-tfrac7298 =-tfrac5858

Resposta

O valor da integral é -tfrac5858.

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