Calcule as integrais duplas nas regiões indicadas:
\quad / 2,0] \iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d x d y\), sendo \(D\) a região limitada por \(x^{2}+y^{2} \leq 2 y\) e \(x \geq 0\).

Passo 1

O enunciado pede calcular
\iint_{D}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;dx\,dy
onde D é a região definida por
x^{2}+y^{2}\le 2y \quad\text{e}\quad x\ge0.
Para esse tipo de integral sobre curvas circulares, é mais prático usar coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta, \quad dx\,dy = r\,dr\,d\theta, \quad \sqrt{x^{2}+y^{2}} = r.

Passo 2

Em coordenadas polares a condição
x^{2}+y^{2}\le 2y
vira
r^{2}\le 2r\sin\theta \quad\Longrightarrow\quad 0\le r\le 2\sin\theta.
A restrição x\ge0 equivale a \cos\theta\ge0, ou seja
-\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}.
Para manter r\ge0 e 2\sin\theta\ge0 precisamos de \sin\theta\ge0, isto é
0\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}.
Logo em polares temos
0\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}, \quad 0\le r\le 2\sin\theta.

Passo 3

Substituindo tudo na integral, obtemos
\iint_{D}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;dx\,dy =\int_{\theta=0}^{\pi/2}\!\int_{r=0}^{2\sin\theta} \bigl(r\bigr)\bigl(r\,dr\,d\theta\bigr) =\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{2\sin\theta}r^{2}\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calcule a integral interna em r:
\int_{0}^{2\sin\theta}r^{2}\,dr =\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{2\sin\theta} =\frac{(2\sin\theta)^{3}}{3} =\frac{8\sin^{3}\theta}{3}.
Assim
\iint_{D}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy =\frac{8}{3}\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\theta\,d\theta.

Passo 5

Para calcular \displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\theta\,d\theta, use a identidade \sin^{3}\theta=\sin\theta\,(1-\cos^{2}\theta) ou reconheça a fórmula padrão
\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\theta\,d\theta =\frac{2}{3}.
Logo
\iint_{D}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy =\frac{8}{3}\cdot\frac{2}{3} =\frac{16}{9}.

Resposta

\frac{16}{9}.

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