Considere a integral dupla iterada:
\int_{0}^{1} \int_{-\sqrt{1-y^{2}}}^{1-y} x d x d y
(a) \quad[\quad / 0,5] Determine e esboce a região de integração D;
(b) [\quad / 1,0] Inverta a ordem de integração;
(c) [\quad / 1,0] Calcule a nova integral.

Passo 1

O enunciado dá a integral dupla
\int_{y=0}^{1}\int_{x=-\sqrt{1-y^{2}}}^{\,1-y}x\,dx\,dy
e pede:
(a) determinar e esboçar a região de integração D;
(b) inverter a ordem de integração;
(c) calcular a integral invertida.

Passo 2

Para descrever D, observe as fronteiras em cada variável:
  • em y, temos 0\le y\le1 (entre a reta y=0 e a reta y=1);
  • em x, a borda esquerda é x=-\sqrt{1-y^{2}}, que é o lado direito da semicircunferência de raio 1 centrada na origem e acima do eixo x (isto é, x^{2}+y^{2}=1 com y\ge0);
  • a borda direita é x=1-y, que é a reta que vai de (1,0) a (0,1).
Então
D=\bigl\{(x,y)\mid 0\le y\le1,\;-\,\sqrt{1-y^{2}}\le x\le1-y\bigr\}.
Para esboçar, desenhe:
  1. o semicírculo x^{2}+y^{2}=1 para y\ge0;
  2. a reta x+ y=1;
  3. a reta y=0 entre x=-1 e x=1;
    e sombreie a região que está à direita do arco do círculo e à esquerda da reta x+ y=1, acima do eixo x.

Passo 3

Para inverter a ordem, identificamos o intervalo de x em todo D. O menor x ocorre em (x,y)=(-1,0) e o maior em (1,0), ou seja, -1\le x\le1. Para cada x, y vai de 0 até o menor entre a semicircunferência e a reta:
  • se x\in[-1,0], a curva inferior é o eixo y=0 e a superior é o semicírculo y=\sqrt{1-x^{2}}, pois aí \sqrt{1-x^{2}}\le1-x;
  • se x\in[0,1], a curva inferior continua y=0 e a superior é a reta y=1-x, pois aí 1-x\le\sqrt{1-x^{2}}.
Logo a integral invertida é
\int_{x=-1}^{0}\int_{y=0}^{\sqrt{1-x^{2}}}x\,dy\,dx \;+\; \int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x}x\,dy\,dx.

Passo 4

Calcule cada parte separadamente.
  1. Para x\in[-1,0]:
\int_{x=-1}^{0}\!\Bigl[\int_{y=0}^{\sqrt{1-x^{2}}}x\,dy\Bigr]dx =\int_{-1}^{0}x\bigl(\sqrt{1-x^{2}}-0\bigr)\,dx =\int_{-1}^{0}x\sqrt{1-x^{2}}\,dx.
Use u=1-x^{2}, du=-2x\,dx, quando x=-1 vem u=0 e quando x=0 vem u=1. Assim
\int_{-1}^{0}x\sqrt{1-x^{2}}\,dx =-\tfrac12\int_{u=0}^{1}u^{1/2}\,du =-\tfrac12\cdot\tfrac{2}{3}u^{3/2}\Big|_{0}^{1} =-\tfrac{1}{3}.
  1. Para x\in[0,1]:
\int_{x=0}^{1}\!\Bigl[\int_{y=0}^{1-x}x\,dy\Bigr]dx =\int_{0}^{1}x\,(1-x)\,dx =\int_{0}^{1}(x - x^{2})\,dx =\bigl[\tfrac12x^{2}-\tfrac13x^{3}\bigr]_{0}^{1} =\tfrac12-\tfrac13 =\tfrac16.
Somando as duas partes:
-\tfrac13+\tfrac16=-\tfrac16.

Resposta

(a) D=\{(x,y)\mid0\le y\le1,\,-\sqrt{1-y^{2}}\le x\le1-y\}, é a região limitada pelo semicírculo x^{2}+y^{2}=1, pela reta x+y=1 e pelo eixo y=0.
(b)
\int_{x=-1}^{0}\int_{y=0}^{\sqrt{1-x^{2}}}x\,dy\,dx \;+\; \int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x}x\,dy\,dx.
(c) O valor da integral é -\tfrac{1}{6}.

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