\int_{0}^{1} \int_{-\sqrt{1-y^{2}}}^{1-y} x d x d y
(a) \quad[\quad / 0,5] Determine e esboce a região de integração D;
(b) [\quad / 1,0] Inverta a ordem de integração;
(c) [\quad / 1,0] Calcule a nova integral.
e pede:
(a) determinar e esboçar a região de integração D;
(b) inverter a ordem de integração;
(c) calcular a integral invertida.
Passo 2
Para descrever D, observe as fronteiras em cada variável:
em y, temos 0\le y\le1 (entre a reta y=0 e a reta y=1);
em x, a borda esquerda é x=-\sqrt{1-y^{2}}, que é o lado direito da semicircunferência de raio 1 centrada na origem e acima do eixo x (isto é, x^{2}+y^{2}=1 com y\ge0);
a borda direita é x=1-y, que é a reta que vai de (1,0) a (0,1).
a reta y=0 entre x=-1 e x=1;
e sombreie a região que está à direita do arco do círculo e à esquerda da reta x+ y=1, acima do eixo x.
Passo 3
Para inverter a ordem, identificamos o intervalo de x em todo D. O menor x ocorre em (x,y)=(-1,0) e o maior em (1,0), ou seja, -1\le x\le1. Para cada x, y vai de 0 até o menor entre a semicircunferência e a reta:
se x\in[-1,0], a curva inferior é o eixo y=0 e a superior é o semicírculo y=\sqrt{1-x^{2}}, pois aí \sqrt{1-x^{2}}\le1-x;
se x\in[0,1], a curva inferior continua y=0 e a superior é a reta y=1-x, pois aí 1-x\le\sqrt{1-x^{2}}.