[ \quad / 1,5 ] Encontre o volume do sólido delimitado superiormente pelo parabolóide de equação z=1+x^{2}+y^{2} e inferiormente pelo triângulo contido no plano x y de vértices (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0).

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que, superiormente, é limitado pelo parabolóide
z = 1 + x^{2} + y^{2}
e, inferiormente, pelo plano z=0 sobre o triângulo em xy com vértices (0,0), (1,0) e (0,1).
O conteúdo é cálculo de volume via integral dupla.

Passo 2

A região R projetada no plano xy é
R = \{(x,y)\mid 0 \le x \le 1,\;0 \le y \le 1 - x\}.
O volume é dado por
V = \iint_{R} \bigl(z_{\text{sup}} - z_{\text{inf}}\bigr)\,dA = \iint_{R} \bigl((1 + x^{2} + y^{2}) - 0\bigr)\,dA = \iint_{R} \bigl(1 + x^{2} + y^{2}\bigr)\,dA.

Passo 3

Escrevendo como integral iterada:
V = \int_{x=0}^{1} \int_{y=0}^{1 - x} \bigl(1 + x^{2} + y^{2}\bigr)\,dy\,dx.

Passo 4

Calcular a integral interna em y:
\int_{0}^{1 - x} (1 + x^{2} + y^{2})\,dy = \Bigl[(1 + x^{2})\,y + \tfrac{y^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1 - x} = (1 + x^{2})(1 - x) \;+\; \tfrac{(1 - x)^{3}}{3}.

Passo 5

Simplificando o integrando em x:
(1 + x^{2})(1 - x) + \tfrac{(1 - x)^{3}}{3} = 1 + x^{2} - x - x^{3} + \tfrac{1 - 3x + 3x^{2} - x^{3}}{3} = \tfrac{4}{3} - 2x + 2x^{2} - \tfrac{4}{3}\,x^{3}.
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V = \int_{0}^{1} \Bigl(\tfrac{4}{3} - 2x + 2x^{2} - \tfrac{4}{3}x^{3}\Bigr)\,dx.

Passo 6

Integrando em x:
V = \Bigl[\tfrac{4}{3}x - x^{2} + \tfrac{2}{3}x^{3} - \tfrac{1}{3}x^{4}\Bigr]_{0}^{1} = \tfrac{4}{3} - 1 + \tfrac{2}{3} - \tfrac{1}{3} = \tfrac{2}{3}.

Resposta

O volume do sólido é \tfrac{2}{3}.

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