Calcule as integrais duplas em retângulos indicadas abaixo:
\iint_{D} \frac{d x d y}{(x+y+1)^{2}}, onde D=[0,1] \times[0,1];

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{D}\frac{dx\,dy}{(x+y+1)^{2}},
onde D=[0,1]\times[0,1].
Informações dadas e objetivo:
  • A região de integração é o retângulo D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\\\ 0\le y\le1\}.
  • A função a integrar é f(x,y)=\dfrac{1}{(x+y+1)^{2}}.
  • O objetivo é obter o valor numérico exato da integral dupla sobre D.

Passo 2

Justificar a troca para integral iterada (Teorema de Fubini simples).
A função f(x,y)=\dfrac{1}{(x+y+1)^{2}} é contínua em todo D (denominador nunca zera porque x+y+1\ge1). Como D é retângulo e f é contínua, vale o Teorema de Fubini: a integral dupla pode ser calculada como integral iterada, por exemplo
\iint_{D}\frac{dx\,dy}{(x+y+1)^{2}}=\int_{y=0}^{1}\left(\int_{x=0}^{1}\frac{dx}{(x+y+1)^{2}}\right)dy.
Aqui se integra primeiro em x mantendo y fixo.

Passo 3

Calcular a integral interna em x:
\int_{x=0}^{1}\frac{dx}{(x+y+1)^{2}}.
Para integrá-la, faz-se a substituição simples para reconhecer a primitiva. Defina
u=x+y+1.
Como y é tratado como constante na integração em x, tem-se du=dx. Quando x=0 temos u=y+1. Quando x=1 temos u=y+2. Assim
\int_{x=0}^{1}\frac{dx}{(x+y+1)^{2}}=\int_{u=y+1}^{y+2}\frac{du}{u^{2}}.

Passo 4

Calcular a primitiva de u^{-2} e avaliar nos limites.
Sabendo que a derivada de u^{-1} é -u^{-2}, uma primitiva de u^{-2} é -u^{-1}. Então
\int_{u=y+1}^{y+2}\frac{du}{u^{2}}=\left[-\frac{1}{u}\right]_{u=y+1}^{u=y+2}=-\frac{1}{y+2}+\frac{1}{y+1}.
Reescrevendo,
\int_{x=0}^{1}\frac{dx}{(x+y+1)^{2}}=\frac{1}{y+1}-\frac{1}{y+2}.

Passo 5

Agora integrar esta expressão em y de 0 a 1:
\int_{y=0}^{1}\left(\frac{1}{y+1}-\frac{1}{y+2}\right)dy.
Usa-se que \displaystyle\int\frac{dy}{y+a}=\ln(y+a)+C (logaritmo natural). Assim
\int_{0}^{1}\frac{dy}{y+1}=\bigl[\ln(y+1)\bigr]_{0}^{1}=\ln 2-\ln 1=\ln 2,
\int_{0}^{1}\frac{dy}{y+2}=\bigl[\ln(y+2)\bigr]_{0}^{1}=\ln 3-\ln 2.
Subtraindo,
\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{y+1}-\frac{1}{y+2}\right)dy=(\ln 2)-(\ln 3-\ln 2)=2\ln 2-\ln 3.

Passo 6

Simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
2\ln 2-\ln 3=\ln(2^{2})-\ln 3=\ln\!\left(\frac{4}{3}\right).
Portanto a integral dupla vale \ln\!\left(\dfrac{4}{3}\right).

Resposta

\displaystyle \ln\!\left(\frac{4}{3}\right)

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