Calcule as integrais duplas em retângulos indicadas abaixo:
, onde
;
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
onde
.
Informações dadas e objetivo:
Informações dadas e objetivo:
- A região de integração é o retângulo
. - A função a integrar é
. - O objetivo é obter o valor numérico exato da integral dupla sobre
.
Passo 2
Justificar a troca para integral iterada (Teorema de Fubini simples).
A função é contínua em todo
(denominador nunca zera porque
). Como
é retângulo e
é contínua, vale o Teorema de Fubini: a integral dupla pode ser calculada como integral iterada, por exemplo
A função
Aqui se integra primeiro em
mantendo
fixo.
Passo 3
Calcular a integral interna em
:
Para integrá-la, faz-se a substituição simples para reconhecer a primitiva. Defina
Como
é tratado como constante na integração em
, tem-se
. Quando
temos
. Quando
temos
. Assim
Passo 4
Calcular a primitiva de
e avaliar nos limites.
Sabendo que a derivada de é
, uma primitiva de
é
. Então
Sabendo que a derivada de
Reescrevendo,
Passo 5
Agora integrar esta expressão em
de
a
:
Usa-se que
(logaritmo natural). Assim
Subtraindo,
Passo 6
Simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Portanto a integral dupla vale
.