Calcule as seguintes integrais duplas se D=[0,1] \times[0,1] \iint_{D}\left(x^{3}+y^{3}\right) d x d y;
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla sobre o quadrado D=[0,1]\times[0,1] da função f(x,y)=x^{3}+y^{3}. Ou seja, calcular
\iint_{D}\left(x^{3}+y^{3}\right)\,dx\,dy.
Informações dadas:
Domínio: D=[0,1]\times[0,1] (isto é, 0\le x\le1 e 0\le y\le1).
Integrando: x^{3}+y^{3}.
Pergunta: encontrar o valor numérico de \iint_{D}\left(x^{3}+y^{3}\right)\,dx\,dy.
Passo 2
Idéia de como calcular (fórmula que vamos usar).
Para integrais duplas sobre um retângulo pode-se usar integrais iteradas (Teorema de Fubini). Isso significa que
ou seja, integrar primeiro em x (mantendo y fixo) e depois em y. Também vale a linearidade: a integral da soma é a soma das integrais. Além disso vamos usar a regra da potência para primitivar:
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde n é um número real (aqui n=3). Isso vale para funções de uma variável; em integrais iteradas tratamos a variável de integração naquele passo como a variável comum.