Calcule as seguintes integrais duplas se D=[0,1] \times[0,1]
\iint_{D}\left(x^{3}+y^{3}\right) d x d y;

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla sobre o quadrado D=[0,1]\times[0,1] da função f(x,y)=x^{3}+y^{3}. Ou seja, calcular
\iint_{D}\left(x^{3}+y^{3}\right)\,dx\,dy.
Informações dadas:
  • Domínio: D=[0,1]\times[0,1] (isto é, 0\le x\le1 e 0\le y\le1).
  • Integrando: x^{3}+y^{3}.
    Pergunta: encontrar o valor numérico de \iint_{D}\left(x^{3}+y^{3}\right)\,dx\,dy.

Passo 2

Idéia de como calcular (fórmula que vamos usar).
Para integrais duplas sobre um retângulo pode-se usar integrais iteradas (Teorema de Fubini). Isso significa que
\iint_{D} (x^{3}+y^{3})\,dx\,dy = \int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1} (x^{3}+y^{3})\,dx\right)dy,
ou seja, integrar primeiro em x (mantendo y fixo) e depois em y. Também vale a linearidade: a integral da soma é a soma das integrais. Além disso vamos usar a regra da potência para primitivar:
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde n é um número real (aqui n=3). Isso vale para funções de uma variável; em integrais iteradas tratamos a variável de integração naquele passo como a variável comum.

Passo 3

Calcular a integral interna (em x):
\int_{0}^{1} (x^{3}+y^{3})\,dx = \int_{0}^{1} x^{3}\,dx + \int_{0}^{1} y^{3}\,dx.
Avaliar cada parcela:
\int_{0}^{1} x^{3}\,dx = \left.\frac{x^{4}}{4}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{4}.
Como y é tratado como constante quando integramos em x,
\int_{0}^{1} y^{3}\,dx = y^{3}\int_{0}^{1} dx = y^{3}\cdot 1 = y^{3}.
Logo a integral interna vale
\int_{0}^{1} (x^{3}+y^{3})\,dx = \frac{1}{4}+y^{3}.

Passo 4

Agora integrar em y a expressão obtida:
\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{4}+y^{3}\right)dy = \frac{1}{4}\int_{0}^{1} dy + \int_{0}^{1} y^{3}\,dy.
Calcular cada termo:
\frac{1}{4}\int_{0}^{1} dy = \frac{1}{4}\cdot 1 = \frac{1}{4},
\int_{0}^{1} y^{3}\,dy = \left.\frac{y^{4}}{4}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{4}.
Portanto a integral dupla é a soma das duas parcelas:
\frac{1}{4}+\frac{1}{4}.

Passo 5

Método alternativo (mesma conclusão, mas é bom ver outra forma): usar linearidade e separabilidade diretamente.
\iint_{D} (x^{3}+y^{3})\,dx\,dy = \iint_{D} x^{3}\,dx\,dy + \iint_{D} y^{3}\,dx\,dy.
Como x^{3} depende só de x,
\iint_{D} x^{3}\,dx\,dy = \left(\int_{0}^{1} x^{3}\,dx\right)\left(\int_{0}^{1} dy\right) = \frac{1}{4}\cdot 1 = \frac{1}{4}.
Analogamente,
\iint_{D} y^{3}\,dx\,dy = \left(\int_{0}^{1} dx\right)\left(\int_{0}^{1} y^{3}\,dy\right) = 1\cdot\frac{1}{4} = \frac{1}{4}.
Somando as duas parcelas obtém-se \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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