Utilizando as propriedades de logaritmos, calcule as expressões a seguir:
log 2(12-2^x)=2 x

Passo 1

Temos a equação log2(12 - 2^x) = 2x. O conteúdo é propriedades de logaritmos e equações exponenciais: vamos usar a definição de log para passar à forma exponencial.

Passo 2

Pela definição de logaritmo, loga b = c implica b = a^c. Aplicando aqui, obtemos:

Passo 3

12 - 2^x = 2^2x

Passo 4

Para simplificar, seja t = 2^x. Como 2^2x = (2^x)^2 = t^2, a equação fica:

Passo 5

t^2 + t - 12 = 0

Passo 6

Essa é uma equação quadrática em t. Resolvendo: t = -1 pm raiz1 + 482 = -1 pm 72, logo t = 3 ou t = -4. Como t = 2^x > 0, descartamos t = -4.

Passo 7

Voltando a t = 2^x = 3, tiramos logaritmo na base 2:

Passo 8

x = log2(3)

Passo 9

Verificamos o domínio: precisamos de 12 - 2^x > 0, ou seja, 2^x < 12. Como 2^x = 3 < 12, está tudo certo.

Resposta

x = \log_{2}(3)

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