Calcule as integrais duplas nos retngulos indicados:
\iint_{R}\left(10+x^{2}+3 y^{2}\right) d x d y, \quad R=[0,1] \times[0,2]

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{R}\bigl(10 + x^{2} + 3y^{2}\bigr)\,dx\,dy,
onde R = [0,1]\times[0,2]. Como R é um retângulo, podemos usar o Teorema de Fubini para transformar em um iterado e integrar termo a termo.

Passo 2

Aplicando Fubini, escrevemos
\iint_{R}\bigl(10 + x^{2} + 3y^{2}\bigr)\,dx\,dy =\int_{y=0}^{2}\!\!\int_{x=0}^{1}\bigl(10 + x^{2} + 3y^{2}\bigr)\,dx\,dy.
Primeiro integramos em x, tratando y como constante:
\int_{x=0}^{1}\bigl(10 + x^{2} + 3y^{2}\bigr)\,dx =\int_{0}^{1}10\,dx + \int_{0}^{1}x^{2}\,dx + \int_{0}^{1}3y^{2}\,dx.
Como \int_{0}^{1}10\,dx = 10, \displaystyle\int_{0}^{1}x^{2}\,dx = \tfrac{1}{3} e \displaystyle\int_{0}^{1}3y^{2}\,dx = 3y^{2}, obtemos
\int_{0}^{1}\bigl(10 + x^{2} + 3y^{2}\bigr)\,dx =10 + \tfrac{1}{3} + 3y^{2} =\tfrac{31}{3} + 3y^{2}.

Passo 3

Agora integramos em y:
\int_{y=0}^{2}\Bigl(\tfrac{31}{3} + 3y^{2}\Bigr)\,dy =\tfrac{31}{3}\int_{0}^{2}dy + 3\int_{0}^{2}y^{2}\,dy =\tfrac{31}{3}\cdot 2 + 3\cdot \tfrac{2^{3}}{3} =\tfrac{62}{3} + 3\cdot \tfrac{8}{3} =\tfrac{62}{3} + \tfrac{24}{3} =\tfrac{86}{3}.

Resposta

\iint_{R}\bigl(10 + x^{2} + 3y^{2}\bigr)\,dx\,dy = \frac{86}{3}.

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